# RD Sharma Solutions Chapter 6 Trigonometric Identities Exercise 6.1 Class 10 Maths

 Chapter Name RD Sharma Chapter 6 Trigonometric Identities Book Name RD Sharma Mathematics for Class 10 Other Exercises Exercise 6.2 Related Study NCERT Solutions for Class 10 Maths

### Exercise 6.1 Solutions

Prove the following trigonometric identities :

1. ( 1 – cos2 A) cosec2 A = 1

Solution

2. (1 + cos2 A)sin2 A = 1

Solution

3. tan2 Î¸ cos2 Î¸ = 1 - cos2 Î¸

Solution

4. cosec Î¸ √(1 - cos2 Î¸) = 1

Solution

5. (sec2 Î¸ - 1)(cosec2 Î¸ - 1) = 1

Solution

We know that sec2 Î¸ - tan2 Î¸ = 1
⇒ sec2 Î¸ = 1, tan Î¸
cosec2 Î¸ - cos2 Î¸ = 1
cosec2 Î¸ - cot2 Î¸
tan2 Î¸ .cot2 Î¸ = tan2 Î¸(1/tan2 Î¸)

6. tanÎ¸(1/tanÎ¸) = secÎ¸ cosecÎ¸

Solution

7. cosÎ¸/(1 - sinÎ¸) = (1 + sinÎ¸)/cos Î¸

Solution

8.  cos Î¸/(1 + sinÎ¸) = (1 - sin Î¸)/cos Î¸

Solution

9. cos2 A + 1/(1 + cot2 A) = 1

Solution

1 + cot2 A = cosec2 A  [∵ cosec2 A - cot2 A = 1, cosec2 A = 1 + cot2 A]
⇒ cot2 A + 1/cosec2 A
⇒ cos2 A + sin2 A = 1
∴ LHS = RHS

10. sin2 A + 1/(1 + tan2 A) = 1

Solution

1 + tan2 A = sec2 A    [∵ sec2 A - tan2 A = 1]
⇒ sin2 A + 1/sec2 A  [1 + tan2 A - sec2 A]
⇒ sin2 A + cos2 A = 1
∴ LHS = RHS

11. √(1 - cos Î¸)/(1 + cos Î¸) = cosec Î¸ - cot Î¸.

Solution

12. (1 - cosÎ¸)/sinÎ¸ = sinÎ¸/(1 + cosÎ¸)

Solution

13. sin Î¸/(1 - cos Î¸) - cosec Î¸ + cot Î¸

Solution

14. (1 - sin Î¸)/(1 + sin Î¸) - (sec Î¸ - tan Î¸)2

Solution

15. (cosec Î¸ + sin Î¸)(cosec Î¸ - sin Î¸) = cos2 Î¸

Solution

16. (1 + cot2 Î¸)tanÎ¸/sec2 Î¸ = cot Î¸

Solution

17. (sec Î¸ + cos Î¸)(sec Î¸ - cos Î¸) = tan2 Î¸ + sin2 Î¸

Solution

18. sec A(1 - sin A)(sec A + tan A) = 1

Solution

19. (cosec A - sin A)(sec A - cos A)(tan A + cot A) = 1

Solution

20. tan2 Î¸ - sin2 Î¸ = tan2 Î¸ .sin2 Î¸

Solution

21. (1 + tan2 Î¸)(1 - sin Î¸).(1 + sin Î¸) = 1

Solution

= 1
= LHS = RHS  Hence proved

22. sin2 A cot2 A + cos2 A tan2 A = 1

Solution

23. (i) cos Î¸ - tan Î¸ = (2cos2 Î¸ - 1)/(sin Î¸ cos Î¸)

Solution

(ii) tan Î¸ - cot Î¸ = (2 sin2 Î¸ - 1)/(sin Î¸  cos Î¸)

Solution

24. cos2 Î¸/sin Î¸ - cosec Î¸ + sin Î¸ = Î¸

Solution

25. 1/(1+sinA) + 1/(1 - sinA) = 2sec2 A

Solution

26. (1 + sin Î¸)/cos Î¸ + cos A/(1 + sin Î¸) = 2 sec Î¸

Solution

27. ([1 + sin Î¸)2  + (1 - sin Î¸)2 ]/2 cos2 Î¸ = (1 + sin2 Î¸)/(1 - sin2 Î¸)

Solution

28. (1 + tan2 Î¸)/(1 + cot2 Î¸) - [(1 - tan Î¸)/cotÎ¸]2 - tan2 Î¸

Solution

29. (1 + sec Î¸)/sec Î¸ = sin2 Î¸/(1 - cosÎ¸)

Solution

30. tan Î¸/(1- cotÎ¸) = cotÎ¸/(1 - tan Î¸) = 1 + tan Î¸ + cot Î¸.

Solution

31. sec6Î¸ = tan6Î¸ + 3tan2 Î¸ sec2 Î¸ + 1

Solution

We know that sec2 Î¸ - tan2 Î¸ :
Cubing on both sides
(sec2  Î¸ - tan2 Î¸)3 = 1
sec6 Î¸ - tan6 Î¸ - 3sec2 Î¸.tan2 Î¸(sec2 Î¸ - tan2 Î¸) = 1
[∵(a - b)3  = a3 - b3 - 3ab(a - b)]
⇒ sec6 Î¸ - tan6 Î¸ =  3sec2 Î¸.tan2 Î¸ = 1
⇒ sec6 Î¸ = tan6 Î¸+ 3sec2 Î¸.tan2 Î¸ + 1
Hence, proved.

32. cosec6 Î¸ = cot6 Î¸+ 3cot2 Î¸ cosec2 Î¸ + 1

Solution

We know that cosec2 Î¸ - cot2 Î¸ = 1
Cubing on both sides
(cosec2 Î¸ - cot2 Î¸)3 = (1)3

33. (1+ tan2 Î¸)cot Î¸/ cosec2 Î¸ = tan Î¸
Solution

34. (1 + cos A)/sin2 A = 1/(1 - cos A)
Solution
We know that sin2 A + cos2 A = 1
Sin2 A = 1 - cos2 A
⇒ sin2 A = (1 - cos A)(1 + cos A)

35. (sec A - tan A)/(sec A + tan A) = cos2 A/(1 + sin A)2
Solution
LHS = (sec Î¸ - tan Î¸)/(sec A + tan A)
Rationalizing the denominator, multiply and diving with sec A + tan A we get

36. (1 + cos A)/sin A = sin A/(1 - cos A)
Solution

37. √(1 + sin A)/(1 - sin A) = sin A + tan A
Solution

38. √(1 - cos A)/(1 + cos A) = cosec A - cot A
Solution

39. (sec A - tan A)2 = (1 - sin A)/(1 + sin A)
Solution

40. (1 - cos A)/(1 + cos A) = (cot A - cosec A)2
Solution

41. 1/(sec A - 1) + 1/(sec A + 1) = 2cosec A. cot A
Solution

42. cos A/(1 - tan A) + sin A/(1 - cot A) = sin A + cos A
Solution

43. cosec A/(cosec A - 1) + cosec A/(cosec A + 1) = 2sec2 A.
Solution

44. (1 + tan2 A) + (1 + 1/tan2 A) = 1/(sin2 A - sin4 A)
Solution

45. tan2 A/(1 + tan2 A) + cot2 A/(1 + cot2 A) = 1
Solution

46. (cot A - cos A)/(cos A + cos A) = (cosec A - 1)/(cosec A + 1)
Solution

47. (i) (1 + cos Î¸ + sin Î¸)/(1 +  cos Î¸ - sin Î¸)
(ii) (sin Î¸ - cosÎ¸ + 1)/(sin Î¸ + cos Î¸ - 1)
(iii) (cos Î¸ - sin Î¸ + 1)/(cos Î¸ + sin Î¸ - 1) = cosec Î¸ + cot Î¸
Solution
(i) (1 + cos Î¸ + sin Î¸)/(1 +  cos Î¸ - sin Î¸)

(ii) (sin Î¸ - cosÎ¸ + 1)/(sin Î¸ + cos Î¸ - 1)

(iii) (cos Î¸ - sin Î¸ + 1)/(cos Î¸ + sin Î¸ - 1) = cosec Î¸ + cot Î¸

48. 1/(sec A + tan A) - 1/(cos A) = 1/cos A - 1/(sec A - tan A)
Solution

49. tan2 A + cot2 A = sec2 A cosec2 A - 2
Solution

50. (1 - tan2 A)/(cot2 A- 1) = tan2 A.
Solution

51. 1 + cot2 Î¸/(1 + cosec Î¸) = cosec Î¸
Solution

52. cos Î¸/(cosecÎ¸ + 1) + cos Î¸/(cosec Î¸ -1) = 2 tan Î¸
Solution

53. (1 + cos Î¸ - sin2 Î¸)/[sin Î¸(1 + cos Î¸)] = cot Î¸
Solution

54. tan3 Î¸/(1 + tan2 Î¸) + cot3 Î¸/(1 + cot2 Î¸) = sec Î¸ cosec Î¸ - 2sin Î¸ cos Î¸
Solution

55. If  Tn = sinn Î¸ + cosn Î¸, prove that (T3 – T5 )/T1 = (T5 – T7)/T3
Solution

56.  [tan Î¸ + 1/cos Î¸]2 + [tan Î¸ - 1/cos Î¸]2  = 2[(1 + sin2 Î¸)/(1 - sin2 Î¸)
Solution

57. [1/(sec2 Î¸ – cos2 Î¸) + 1/(cosec2 Î¸ – sin2 Î¸)]sin2 Î¸cos2 Î¸ = (1 – sin2 Î¸cos2 Î¸)/(2 + sin2 Î¸cos2 Î¸)
Solution

58. [(1 + sin Î¸ - cos Î¸)/(1 + sin Î¸ + cos Î¸)]2 = (1 - cos Î¸)/(1 + cos Î¸)
Solution

59. (sec A + tan A - 1)(sec A - tan A + 1) = 2tan A
Solution

60.  (1 + cot A - cosec A)(1 + tan A + sec A) = 2
Solution

61. (cosec Î¸ - sec Î¸)(cot Î¸ - tan Î¸)(cosec Î¸ + sec Î¸)(sec Î¸ cosec Î¸ - 2)
Solution

62. (sec A - cosec A)(1 + tan A + cot A) = tan A sec A - cot A cosec A
Solution

63. (cos A cosec A - sin A sec A)/(cos A + sin A) = cosec A - sec A
Solution

64. sin A/(sec A + tan A -1) + cot A/(cosec A + cot A - 1) = 1
Solution

65. tan A/(1 + tan2 A) + cos A/(1 + cot2 A)2 = sin A cos A
Solution

66. sec4 A(1 - sin4 A) - 2 tan4 A = 1
Solution

67. cot2 A(sec A - 1)/(1 + sin A) = sec2 [(1 - sin A)/(1 + sec A)]
Solution

68. (1 + cot A + tan A)(sin A - cos A) = sec A/(cosec2 A) - cosec A/sec2 A = sin A tan A - cos A cot A
Solution

69.  sin2 A cos2 B - cos2 A sin2 B = sin2 A - sin2 B
Solution

70. (cot A + tan B)/(cot B + tan A) = cot A tan B
Solution

71. (tan A + tan B)/(cot A + cot B) = tan A  tan B
Solution

72. cot2 A cosec2 B - cot2 B cosec2 A = cot2 A - cot2 B
Solution

73. tan2 A sec2 B - sec2 A tan2 B = tan2 A - tan2 B
Solution

74. If x = a sec Î¸ + b tan Î¸ and y = a tan Î¸ + b sec Î¸, prove that x2 - y2  = a2 - b2
Solution

75. If x/a cos Î¸ + y/b sin Î¸ = 1 and x/a sin Î¸ - y/b cos Î¸ = 1, prove that x2/a2 + y2/ b2  = 2
Solution

76. If cosec Î¸ - sin Î¸ = a2 , sec Î¸ - cos Î¸ = b3 , prove that a2b2(a2 + b2 ) = 1
Solution

77. If a cos3 Î¸ + 3Î± cos Î¸ sin2 Î¸ = m, Î± sin3 Î¸ + 3Î± cos2 Î¸ sin Î¸ = n, prove that (m + n)2/3 + (m -n)2/3
Solution

78. If x = a cos3 Î¸, y = b sin3 Î¸, prove that (x/a)2/3 Î¸ + (y/b)2/3 = 1
Solution

79. If 3 sin Î¸ + 5 cos Î¸ = 5, prove that 5 sin Î¸ - 3 cos Î¸ = ±3.
Solution

80. If a cos Î¸ + b sin Î¸ = m and a sin Î¸ - b cos Î¸ = n, prove that a2 + b2 = m2 + n2
Solution

81. If cos Î¸ + cot Î¸ = m and cosec Î¸ - cot Î¸ = n, prove that m n = 1
Solution

82. If cos A + cos2 A = 1 , prove that sin2 A + sin4 A = 1
Solution
cos A + cos2 A = 1
cos A = 1 - cos2 A
cos A = sin2 A
LHS = sin2 A + sin4 A
= sin2 A+ sin2 A
= sin2 A + (cos A)2
= sin2 A + cos A
= 1

83. Prove that :
(i) √(sec Î¸ - 1)/(sec Î¸ + 1) + √(sec Î¸ + 1)/(sec Î¸ - 1) = 2 cosec Î¸
(ii) √(1 + sin Î¸ )/(1 - sin Î¸) + √(1 - sin Î¸)/(1 + sin Î¸) = 2 sec Î¸
(iii) √(1 + cos Î¸ )/(1 - cos Î¸) + √(1 - cos Î¸)/(1 + cos Î¸) = 2 cosec Î¸
(iv) (sec Î¸ - 1)/(sec Î¸ + 1) = (sinÎ¸/(1 + cos Î¸))2
Solution
(i) √(sec Î¸ - 1)/(sec Î¸ + 1) + √(sec Î¸ + 1)/(sec Î¸ - 1) = 2 cosec Î¸

(ii) √(1 + sin Î¸ )/(1 - sin Î¸) + √(1 - sin Î¸)/(1 + sin Î¸) = 2 sec Î¸

(iii) √(1 + cos Î¸ )/(1 - cos Î¸) + √(1 - cos Î¸)/(1 + cos Î¸) = 2 cosec Î¸

(iv) (sec Î¸ - 1)/(sec Î¸ + 1) = (sinÎ¸/(1 + cos Î¸))2

84. If cos Î¸ + cos2 Î¸ = 1, prove that
sin12 Î¸ + 3sin10 Î¸ + 3sin8 Î¸ + sin6 Î¸ + 2 sin4 Î¸ + 2sin2 Î¸ - 2 = 1
Solution

85. Given that (1 + cos Î±)(1 + cos Î²)(1 + cosÎ³) = (1 - cos Î±)(1 - cos Î²)(1 - cos Î³)
Show that one of the values of each member of this equality is sin Î± sin Î² sin Î³
Solution

86. If sin Î¸ + cos Î¸ = x P.T sin6 Î¸ + cos6 Î¸ = [4 - 3(x2 - 1)2 /4]
Solution

87. if x = a sec Î¸ cos ∅y = b sec Î¸ sin∅ and z = c tan Î¸, S.T x2/a2 + y2/b2 - z2/c2 = 1
Solution