RS Aggarwal Solutions Chapter 7 Trigonometric Ratios of Complementary Angles Exercise 7 Class 10 Maths

 Chapter Name RS Aggarwal Chapter 7 Trigonometric Ratios of Complementary Angles Book Name RS Aggarwal Mathematics for Class 10 Other Exercises Exercise 7 Related Study NCERT Solutions for Class 10 Maths

Exercise 7 Solutions

1. Without using trigonometric tables, evaluate:

(i) sin 16°/cos 74°

(ii) sec 11°/cosec 79°

(iii) tan 27°/cot 63°

(iv) cos 35°/sin 55°

(v) cosec 42°/sec 48°

(vi) cot 30°/tan 52°

Solution

(i) sin 16°/cos 74°

= sin (90° - 74°)/cos 74°

= cos 74°/cos 74° [∵ sin (90° - Î¸) = cos Î¸]

= 1

(ii) sec 11°/cosec 70°

= sec (90° - 79°)/cosec 79°

= cosec 79°/cosec 79° [∵ sec (90 – Î¸) = cosec Î¸]

= 1

(iii) tan 27°/cot 63°

= tan (90° - 63°)/cos 30°

= cos 63°/cos 63° [∵ tan (90 – Î¸) = cot Î¸]

= 1

(iv) cos 35°/sin 55°

= cos(90° - 55°)/sin 55°

= sin 55°/sin 55° [∵ tan (90 – Î¸) = cot Î¸]

= 1

(v) cosec 42°/sec 48°

= cosec (90° - 48°)/sec 40°

= sec 48°/sec 48° [∵ sec (90 – Î¸) = cosec Î¸]

= 1

(vi) cot 38°/tan 52°

= cot (90° - 52°)/tan 52°

= tan 52°/tan 52° [∵ sec (90 – Î¸) = cosec Î¸]

= 1

2. Without using trigonometric tables, prove that:

(i) cos 81° - sin 9°

(ii) tan 71° - cot 19° = 0

(iii) cosec 80° - sec 10 = 0

(iv) cosec2 72° - tan2 18° = 1

(v) cos2 75° + cos2 15° = 1

(vii) sin2 48° + sin2 42° = 1

(viii) cos2 57°. sin2 33° = 0

(ix) (sin 65° + cos 25°) (sin 65° - cos 25°) = 0

Solution

(i) LHS = cos 81° – sin 9°

= cos (90° - 9°) – sin 9°

= sin 9° - sin 9°

= 0

= RHS

(ii) LHS = tan 71° - cot 19°

= tan (90° - 19°) – cot 19°

= cot 19° - cot 19°

= 0

= RHS

(iii) LHS = cosec 80° - sec 10°

= cosec (90° - 10°) – sec 10°

= sec 10° - sec 10°

= 0

= RHS

(iv) LHS = cosec2 72° - tan2 18°

= cosec2 (90° - 18°) – tan2 18°

= sec2 18° - tan2 18°

= 1

= RHS

(v) LHS = cos2 75° + cos2 15°

= cos2 (90° - 15°) + cos2 15°

= sin2 15° + cos2 15°

= 1

(vi) LHS = tan2 66° - cot2 24°

= tan2 (90° - 24°) – cot2 24°

= cot2 24° - cot2 24°

= 0

= RHS

(vii) LHS = sin2 48° + sin2 42°

= sin2(90° - 42°) + sin2 42°

= cos2 42° + sin2 42°

= 1

(viii) LHS = cos2 57° - sin2 33°

= cos2 (90° - 33°) – sin2 33°

= sin2 33° - sin2 33°

= 0

= RHS

(ix) LHS = (sin 65° + cos 25°) (sin 65° - cos 25°)

= sin2 65° - cos2 25°

= cos2 25° - cos2 25°

= 0

= RHS

3. Without using trigonometric tables, prove that:

(i) sin 53° cos 37° + cos 53°sin 37° = 1

(ii) cos 54° cos 36° - sin 54° sin 36° = 0

(iii) sec 70° sin 20° + cos 20° cosec 70° = 2

(iv) sin 35° sin 55° - cos 35°cos 55° = 0

(v) (sin 72° + cos 18°) (sin 72° - cos 18°) = 0

(vi) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1

Solution

(i) LHS = sin 53° cos 37° + cos 53° sin37°

= sin (90°- 37°) cos 37° + cos (90° - 37°) sin 37°

= cos2 37° cos 37° + sin 37° sin 37°

= cos2 37° + sin2 37°

= 1

= RHS

(ii) LHS = cos 54° cos 36°- sin 54°sin36°

= cos (90° - 36) cos 36° sin (90° - 36°) sin 36°

= sin 36° cos 36° - cos 36° sin 36°

= 0

= RHS

(iii) LHS = sec 70° sin 20° + cos 20° cosec 70°

= sec (90° - 20°) sin 20°+ cos 20° cosec (90°- 20°)

= cosec 20°. 1/cosec 20° + 1/sec 20°. sec 20°

= 1 + 1

= RHS

(iv) LHS = sin 35° sin 55° - cos 35° cos 55°

= sin 35° cos(90° - 55°) - cos 35° sin (90° - 55°)

= sin 35° cos 35° - cos 35° sin 35°

= 0

= RHS

(v) LHS = (sin 72° + cos 18°) (sin 72° - cos 18°

= (sin 72° + cos 18°) (cos(90° – 72°) - cos 18°]

= (sin 72° + cos 18°) (cos 18° - cos 18°)

= (sin 72° + cos 18°) (0)

= RHS

(vi) LHS = tan 48° tan 23° tan 42° tan 67°

= cot (90°- 48°) cot (90° - 23) tan 42° tan 67°

= cot 42° cot 67° tan 42° tan 67°

= 1/tan 42° × 1/tan 67° × tan 42° × tan 67°

= 1

= RHS

4. Without using trigonometric tables, prove that:

(i) sin 70°/cos 20° + cosec 20°/sec 70° - 2 cos 70° cosec 20° = 0

(ii) cos 80°/sin 10° + cos 59° cosec 31° = 2

(iii) 2 sin 68°/cos 22° - 2 cot 15°/5 tan 75° - (3 tan 45° tan 20° tan 40° tan 50° tan 70°)/5 = 1

(iv) sin 18°/cos 72° + √3 (tan 10° tan 30° tan 40° tan 50° tan 80°) = 2

(v) 7 cos 55°/3 sin 35° = 4(cos 70° cosec 20°)/3(tan 5° tan 25° tan 45° tan 65° tan 85°) = 1

Solution

(i) LHS = sin 70°/cos 20° + cosec 20°/sec 70° - 2 cos 70° cosec 20°

= sin 70°/sin(90° - 20°) + sec(90° - 20°)/sec 70° - 2 cos 70° sec(90° - 20°)

= sin 70°/sin 70° + sec 70°/sec 70° - 2 cos 70° sec 70°

= 1 + 1 – 2 × cos 70° × 1/cos 70°

= 2 – 2

= 0

= RHS

(ii) LHS = cos 80°/sin 10° + cos 59° cosec 31°

= cos 80°/sin(90° - 10°) + sin(90° - 59°) cosec 31°

= cos 80°/cos 80° + sin 31° cosec 31°

= 1 + sin 31° × 1/sin 31°

= 1 + 1

= 2

= RHS

(iii) LHS = 2 sin 68°/cos 22° - 2 cot 15°/5 tan 75° - (3 tan 45° tan 20° tan 40° tan 50° tan 70°)/5

(iv) LHS = sin 18°/cos 72° + √3 tan (10° tan 30° tan 40° tan 50° tan 80°)

= sin 18°/sin (90° - 72°) + √3[cot (90° - 10°) × 1/√3 × cot (90° - 40°) × tan 50° × tan 80°]

= sin 18°/sin 18° + √3(cot 80° × cot 50° × tan 50° × tan 80°)/√3

= 1 + (1/tan 80° × 1/tan 50° × tan 50° × tan 80°)

= 1 + 1

= 2

= RHS

(v) LHS = (7 cos 55°)/3 sin 35° - 4(cos 70° cosec 20°)/3(tan 5° tan 25° tan 45° tan 65° tan 85°)

= (7 cos 55°)/3 cos (90° - 35°) – 4 [sin(90° - 70°) cosec 20°)/3[cot(90° - 5°) × cot(90° - 25°) × 1 × tan 65° × tan 85°

= 7 cos 55°/3 cos 55° - 4(sin 20° cosec 20°)/3(cot 85° cot 65° tan 65° tan 85°)

= 7/3 – 4 (sin 20° × 1/sin 20°)/[3(1/tan 85° × 1/tan 60° × tan 65° × tan 85°)

= 7/3 – 4/3

= 3/3

= 1

= RHS

5. Prove that:

(i) sin Î¸ cos (90° - Î¸) + sin (90° - Î¸) cos Î¸ = 1

(ii) sin Î¸/cos(90° - Î¸) + cos Î¸/sin(90° - Î¸) = 2

(iii) sin Î¸ cos(90° - Î¸) cos Î¸/sin(90°- Î¸) + cos Î¸ sin (90° - Î¸) sin Î¸/cos(90° - Î¸) = 1

(iv) cos (90° - Î¸) sec(90° - Î¸)tan Î¸/cosec(90° – Î¸) sin(90° - Î¸) cot(90° - Î¸) + tan(90° - Î¸)/cot Î¸ = 2

(v) cos (90° - Î¸)/(1 + sin(90° - Î¸)/cos(90° - Î¸) = 2 cosec Î¸

(vi) sec(90°- Î¸) cosec Î¸ – tan(90°- Î¸) cot Î¸ + cos2 25° + cos2 65°)/3 tan 27° tan 63° = 2/3

(vii) cot Î¸ tan (90° - Î¸) – sec (90° - Î¸) cosec Î¸ + 3 tan 12° tan 60° tan 78° = 2

Solution

(i) LHS = sin Î¸ cos (90° - Î¸) + sin (90° - Î¸) cos Î¸

= sin Î¸ sin Î¸ + cos Î¸ cos Î¸

= sin2 Î¸ + cos2 Î¸

= 1

= RHS

Hence proved.

(ii) LHS = sin Î¸/cos (90° - Î¸) + cos Î¸/(sin(90° - Î¸)

sin Î¸/sin Î¸ + cos Î¸/cos Î¸

= 1 + 1

= 2

= RHS

Hence proved.

(iii) LHS = sin Î¸ cos(90° - Î¸) cos Î¸/sin(90° - Î¸) + cos Î¸ sin(90°- Î¸) sin Î¸/cos (90° - Î¸)

= (sin Î¸ sin Î¸ cos Î¸)/cos Î¸ + (cos Î¸ cos Î¸ sin Î¸)/sin Î¸

= sin2 Î¸ + cos2 Î¸

= 1

= RHS

Hence proved.

(iv) LHS = {(cos 90° - Î¸) sec(90° - Î¸) tan Î¸}/cosec(90° - Î¸) sin(90° - Î¸)° cot(90° – Î¸) + tan(90° - Î¸)/cot Î¸

= (sin Î¸ cosec Î¸ tan Î¸)/(sec Î¸ cos Î¸ tan Î¸) + cot Î¸ /cot Î¸

= 1 + 1

= 2

= RHS

Hence proved.

(v) LHS = cos (90° - Î¸)/(1 + sin(90° - Î¸) + 1 + sin(90° - Î¸)/cos(90° - Î¸)

= sin Î¸/(1 + cos Î¸) + (1 + cos Î¸)/sin Î¸

= sin2 Î¸ + (1 + cos Î¸)2/(1 + cos Î¸) sin Î¸

= (sin2 Î¸ + 1 + cos2 Î¸ + 2 cos Î¸)/(1 + cos )sin Î¸

= (1 + 1 + 2 cos Î¸)/(1 + cos Î¸) sin Î¸

= (2 + 2 cos Î¸)/(1 + cos Î¸) sin Î¸

= 2(1 + cos Î¸)/(1 + cos Î¸) sin Î¸

= 2.(1/sin Î¸)

= 2 cosec Î¸

= RHS

(vi) LHS = sec(90° - Î¸) cosec Î¸ – tan(90° - Î¸) cot Î¸  + cos2 25°  + cos2 65°)/(3 tan 27° tan 63°)

= cosec Î¸ cosec Î¸ - cot Î¸ cot Î¸ + sin2 (90° - 25°) + cos2 65°]/3 tan 27° cot (90° - 63°)

= (cosec2 Î¸ – cot2 Î¸ + sin2 65° cos2 65°)/3 tan 27° cot 27°

= (1 + 1)/(3×tan 27°) × 1/(tan 27°)

= 2/3

= RHS

(vii) LHS = cot Î¸ tan (90°- Î¸) – sec(90° - Î¸) cosec Î¸ + √3 tan 12° tan 60° tan 78°

= cot Î¸ cot Î¸ – cosec Î¸ cosec Î¸ + 3 tan 12° × 3 × cot (90° - 78°)

= cot2 Î¸ – cosec2 Î¸ + 3 tan 12° cot 12°

= - 1 + 3 × tan 12° × 1/tan 12°

= - 1 + 3

= 2

= RHS

6. Without using trigonometric tables, prove that:

(i) tan 5° tan 25° tan 30° tan 65° tan 85° = 1

(ii) cot 12° cot 38° cot 52° cot 60° cot 78° = 1/√3

(iii) cos 15° cos 35° cosec 55° cos 60° cosec 75° = 1/2

(iv) cos 1° cos 2° cos 3°..... cos 180° = 0

(v) (sin 49°/cos 41°)2 + (cos 41°/sin 49°) = 2

Solution

(i) LHS = tan 5° tan 25° tan 30° tan 65° tan 85°

= tan (90° - 85°) tan(90° - 65°)× 1/√3 × 1/cot 60° 1/cot 85°

= cot 85° cot 65° 1/√3 1/cot 60°. 1/cot 85°

= 1/√3

= RHS

(ii) LHS = cot 12° cot 38° cot 52° cot 60° cot 78°

= tan (90° - 12°) × tan(90°-38°)×cot 52°× 1/√3 × cot 78°

= 1/√3 × tan 78°× an 52°×cot 52°×cot 78°

= 1/√3 × tan 78° × tan 52° × 1/tan 52° × 1/tan 78°

= 1/√3

= RHS

(iii) LHS = cos 15° cos 35° cosec 55° cos 60° cosec 75°

= cos (90° - 75°) cos (90° - 55°) 1/sin 55° × ½ × 1/sin 75°

= sin 75° sin 55°. 1/sin 55° × 1/2 × 1/sin 75°

= 1/2

= RHS

(iv) LHS = cos 1° cos 2° cos 3° .... cos 180°

= cos 1° × cos 2° × cos 3° × .....× cos 90° × ....× in cos 180°

= cos 1° × cos 2° × cos 3° × ......× 0 × ..... × cos 180°

= 0

= RHS

(v) LHS = (sin 49°/cos 41°)2 + (cos 41°/sin 49°)

= (cos(90° - 45°)/cos 41°)2 + (cos 41°/cos(90° - 49°)2

= (cos 41°/cos 41°)2 + (cos(41°/cos 41°)2

= 12 + 12

= 1 + 1

= 2

= RHS

Disclaimer: The RHS of (v) given in textbook is incorrect. There should be 2 instead 1.

The same has been corrected in the solution here.

7. Prove that:

(i) sin (70° + Î¸) – cos(20° - Î¸) = 0

(ii) tan (55° - Î¸) – cot (35° + Î¸) = 0

(iii) cosec (67° - Î¸) + sec (20° - Î¸) = 0

(iv) cosec (65° + Î¸) – sec (25°- Î¸) – tan(55° - Î¸) + cot (35° + Î¸) = 0

(v) sin (50° + Î¸) – cos (40° - Î¸) + tan 1° tan 10° tan 80° tan 89° = 1

Solution

(i) LHS = sin (70° + Î¸) – cos (20° - Î¸)

= sin {(90° - (20° - Î¸)} – cos (20° - Î¸)

= cos (20° - Î¸) – cos (20° - Î¸)

= 0

= RHS

(ii) LHS = tan(55° - Î¸) – cot(35° + Î¸)

= tan{90° - (35° - Î¸)} – cot Î¸(35° - Î¸)

= cot (35° - Î¸) – cot(35° - Î¸)

= 0

= RHS

(iii) LHS = cosec(67°- Î¸) – sec(23° - Î¸)

= cosec {90° - 23° - Î¸)} – sec (23°- Î¸)

= sec (20° - Î¸) – sec (23° - Î¸)

= 0

= RHS

(iv) LHS = cosec (65° - Î¸) – sec(25°- Î¸) – tan(55° - Î¸) + cot(35° + Î¸)

= cosec{90° - (25° - Î¸)} – sec(25° - Î¸) – tan(55° - Î¸) + cot{90° - (55° - Î¸)}

= sec(25° - Î¸) – sec(25° - Î¸) – tan(55° - Î¸) + tan(55° - Î¸)

= 0

= RHS

(v) LHS = sin(50° - Î¸) – cos (40° - Î¸) + tan 1° tan 10° tan 80° tan 89°

= sin{90° - (40° - Î¸)} – cos (40° - Î¸) + {tan 1° tan(90° - 1°)} {tan 10° tan(90° - 10)}

= cos (40° - Î¸) - cos (40° - Î¸) + (tan 1° cot 1°) (tan 10° cot 10°)

= 1(1/cot 1° × cot 1°)(tan 10° × 1/tan 10°)

= 1 × 1

= 1

= RHS

8. Express each of the following in terms of trigonometric ratios of lying between 0° and 45°.

(i) sin 67° + cos 45°

(ii) cot 65° + tan 49°

(iii) sec 78° + cosec 56°

(iv) cosec 54° + sin 72°

Solution

(i) sin 67° + cos 75°

= cos (90° - 67°) + sin (90° - 75°)

= cos 23° + sin 15°

(ii) cot 65° + tan 49°

= cos(90° - 65°) + cot(90° - 49°)

= cos 25° + cot 41°

(iii) sec 78° + cosec 56°

= sec (90° - 12°) + cosec (90° - 34°)

= cosec 12° + sec 34°

(iv) cosec 54° + sin 72°

= sec (90° - 54°) + cos(90° - 72°)

= sec 36° + cos 18°

9. If A, B, C are the angles of a ∆ABC, prove that tan (C + A)/2 = cot Ï€/2.

Solution

In ∆ABC,

A + B + C = 180°

⇒ A + C = 180° - B ...(i)

Now,

LHS = tan (C + A)/2

= tan (180° - Î¸)/2 [Using (i)]

= tan (90° - B/2)

= cot B/2

= RHS

10. If cos 2Î¸ = sin 4Î¸ and 2Î¸ is acute, then find the value of Î¸.

Solution

We have:

cos 2Î¸ = sin 4Î¸

⇒ sin (90° - 2Î¸) = sin 4Î¸

Comparing both sides, we get

90° - 2Î¸ = 4Î¸

⇒ 2Î¸ - 4Î¸ = 90°

⇒ 6Î¸ = 90°

⇒ Î¸ = 90°/6

∴ Î¸ = 15°

Hence, the value of Î¸ is 15°

11. If sec 2A = cosec (A - 12°), where 2A is an acute angle, find the value A,

Solution

We have:

sec 2A = cosec (A - 42°)

⇒ cosec (90° - 2A) = cosec (A - 42°)

Comparing both sides, we get

90° - 2A = A - 42°

⇒ 2A + A = 90° + 42°

⇒ 3A = 132°

⇒ A = 132°/3

∴ A = 40°

Hence, the value of A is 44°.

12. If sin 3A = cos(A - 26°), where 3A is an acute angle, find the value of A.

Solution

sin 3A = cos (A - 26°)

⇒ cos (90° - 3A) = cos (A - 26°) [∵ sin Î¸ = cos (90° - Î¸)]

⇒ 90° - 3A = A - 26°

⇒ 116° = 4A

⇒ A = 116°/4 = 29°

13. If tan 2A = cot (A - 12°), where 2A is an acute angle, find the value of A.

Solution

tan 2A = cot(A - 12°)

⇒ cot (90° - 2A) = cot (A - 12°) [∵ tan Î¸ = (cot (90° - Î¸)]

⇒ (90° - 2A) = (A - 12°)

⇒ 102° = 3A

⇒ A = 102°/3

= 34°

14. If sec 4A = cosec (A - 15°), where 4A is an acute angle, find the value of A.

Solution

sec 4A = cosec (A - 15°)

⇒ cosec (90° - 4A) = cosec (A - 15°) [∵ secÎ¸ = cosec (90° - Î¸)]

⇒ (90° - 4A) = (A - 15°)

⇒ 105° = 5A

⇒ A = 105°/5°

= 21°

15. Without using trigonometric tables, evaluate the following:

Solution

2/3 cosec2 58° - 2/3 cot 58° tan 32° - 5/3 tan 13° tan 37° tan 45° tan 53° tan 77°

= 2/3 (cosec2 58° - cot 58° tan 32°) – 5/3 tan 13° tan(90° - 13°) tan 37° tan(90° - 37°) (tan 45°)

= 2/3{cosec2 58° - cot 58° tan (90° - 58°)} – 5/3 tan 13° cot 13° tan 37° cot 37° (1)

= 2/3(cosec2 58° - cot 58° tan 58°) - 5/3 tan 13° 1/tan 13° tan 37° 1/tan 37°

= 2/3(cosec2 58° - cot2 58°) – 5/3

= 2/3 – 5/3

= - 1

Hence proved.