ML Aggarwal Solutions for Chapter 4 Factorization Class 9 Maths ICSE

Here, we are providing the solutions for Chapter 4 Factorization from ML Aggarwal Textbook for Class 9 ICSE Mathematics. Solutions of the second chapter has been provided in detail. This will help the students in understanding the chapter more clearly. Class 9 Chapter 4 Factorization ML Aggarwal Solutions for ICSE is one of the most important chapter for the board exams which is based on factorising polynomials by taking common terms, using identities and suitable formulae. The polynomials included are cubic, quadratic, or biquadratic polynomials. We also learn factorization by transpose, splitting the middle term and by substitution.

Exercise 4.1


Factorise the following (1 to 9):

1. (i) 8xy3 + 12x2y2

Solution

8xy3 + 12x2y2

Take out 4xycommon in both terms,

Then, 4xy2(2y + 3x)

Therefore, HCF of 8xy3 and 12x2y2 is 4xy2.

(ii) 15 ax3 – 9ax2

Solution

15 ax3 – 9ax2

Take out 3axcommon in both terms,

Then, 3ax2(5x – 3)

Therefore, HCF of 15 ax3 and 9ax2 is 3ax2.


2. (i) 21py2 – 56py

Solution

21py2 – 56py

Take out 7py common in both terms,

Then, 7py(3y – 8)

Therefore, HCF of 21py2 and 56py is 7py.

(ii) 4x3 – 6x2

Solution

4x3 – 6x2

Take out 2x2 common in both terms,

Then, 2x2(2x – 3)

Therefore, HCF of 4x3 and 6x2 is 2x2.


3. (i) 2πr2 – 4πr

Solution

2πr2 – 4πr

Take out 2πr common in both terms,

Then, 2πr(r – 2)

Therefore, HCF of 2πr2 and 4πr is 2πr.

(ii) 18m + 16n

Solution

18m + 16n

Take out 2 common in both terms,

Then, 2(9m – 8n)

Therefore, HCF of 18m and 16n is 2.


4. (i) 25abc2 – 15a2b2c

Solution

25abc2 – 15a2b2c

Take out 5abc common in both terms,

Then, 5abc(5c – 3ab)

Therefore, HCF of 25abc2 and 15a2b2c is 5abc.

(ii) 28p2q2r – 42pq2r2

Solution

28p2q2r – 42pq2r2

Take out 14pq2r common in both terms,

Then, 14pq2r(2p – 3r)

Therefore, HCF of 28p2q2r and 42pq2r2 is 14pq2r.


5. (i) 8x3 – 6x2 + 10x

Solution

8x3 – 6x2 + 10x

Take out 2x common in both terms,

Then, 2x(4x2 – 3x + 5)

Therefore, HCF of 8x3, 6x2 and 10x is 2x.

(ii) 14mn + 22m – 62p

Solution

14mn + 22m – 62p

Take out 2 common in both terms,

Then, 2(7mn + 11m – 31p)

Therefore, HCF of 14mn, 22m and 62p is 2.


6. (i) 18p2q2 – 24pq2 + 30p2q

Solution

18p2q2 – 24pq2 + 30p2q

Take out 6pq common in both terms,

Then, 6pq(3pq – 4q + 5p)

Therefore, HCF of 18p2q2, 24pq2 and 30p2q is 6pq.

(ii) 27a3b3 – 18a2b3 + 75a3b2

Solution

27a3b3 – 18a2b3 + 75a3b2

Take out 3a2b2 common in both terms,

Then, 3a2b2(9a – 6b + 25a)

Therefore, HCF of 27a3b3, 18a2b3 and 75a3b2 is 3a2b2.


7. (i) 15a(2p–3q) – 10b(2p–3q)

Solution

15a (2p – 3q) – 10b (2p – 3q)

Take out 5(2p – 3q) common in both terms,

Then, 5(2p–3q)[3a – 2b]

Therefore, HCF of 15a (2p – 3q) and 10b (2p – 3q) is 5(2p–3q).

(ii) 3a(x2 + y2) + 6b (x2 + y2)

Solution

3a(x2 + y2) + 6b (x2 + y2)

Take out 3(x2 + y2) common in all terms,

Then, 3(x2 + y2)(a + 2b)

Therefore, HCF of 3a(x2 + y2) and 6b (x2 + y2) is 3(x2 + y2).


8. (i) 6(x + 2y)3 + 8(x + 2y)2

Solution

6(x + 2y)3 + 8(x + 2y)2

Take out 2(x + 2y)2 common in all terms,

Then, 2(x + 2y)2[3(x + 2y) + 4]

Therefore, HCF of 6(x + 2y)3 and 8(x + 2y)2 is 2(x + 2y)2.

(ii) 14(a – 3b)3 – 21p(a – 3b)

Solution

14(a – 3b)3 – 21p(a – 3b)

Take out 7(a – 3b) common in all terms,

Then, 7(a – 3b)[2(a – 3b)2 – 3p]

Therefore, HCF of 14(a – 3b)3 and 21p(a – 3b) is 7(a – 3b).


9. (i) 10a(2p + q)3 – 15b(2p + q)2 + 35(2p + q)

Solution

10a(2p + q)3 – 15b (2p + q)2 + 35 (2p + q)

Take out 5(2p + q) common in all terms,

Then, 5(2p + q)[2a (2p + q)2 – 3b (2p + q) + 7]

Therefore, HCF of 10a(2p + q)3, 15b(2p + q)2 and 35(2p + q) is 5(2p + q).

(ii) x(x2 + y2 – z2) + y(-x2 – y2 + z2) – z (x2 + y – z2)

Solution

x(x2 + y2 – z2) + y(-x2 – y2 + z2) – z (x2 + y – z2)

Take out (x2 + y2 – z2) common in all terms,

Then, (x2 + y2 – z2)[x – y – z]

Therefore, HCF of x(x2 + y2 – z2), y(-x2 – y2 + z2) and z (x2 + y – z2) is (x2 + y2 – z2)


Exercise 4.2


Factorise the following (1 to 13):

1. (i) x2 + xy – x – y

Solution

(x2 + xy) – (x – y)

Take out common in all terms,

x(x + y) – 1(x + y)

= (x + y) (x – 1)

(ii) y2 – yz – 5y + 5z

Solution

(y2 – yz) – (5y + 5z)

Take out common in all terms,

y(y – z) – 5(y – z)

= (y – z) (y – 5)


2. (i) 5xy + 7y – 5y2 – 7x

Solution

(5xy – 7x) – (5y2 + 7y)

Take out common in all terms,

x(5y – 7) – y(5y – 7)

= (5y – 7) (x – y)

(ii) 5p2 – 8pq – 10p + 16q

Solution

(5p2 – 8pq) – (10p + 16q)

Take out common in all terms,

p(5p – 8q) – 2(5p – 8q)

= (5p – 8q) (p – 2)


3. (i) a2b – ab2 + 3a – 3b

Solution

(a2b – ab2) + (3a – 3b)

Take out common in all terms,

ab(a – b) + 3(a – b)

= (a – b) (ab + 3)

(ii) x3 – 3x2 + x – 3

Solution

(x3 – 3x2) + (x – 3)

Take out common in all terms,

x2 (x – 3) + 1(x – 3)

= (x – 3) (x2 + 1)


4. (i) 6xy2 – 3xy – 10y + 5

Solution

(6xy2 – 3xy) – (10y + 5)

Take out common in all terms,

3xy(2y – 1) – 5(2y – 1)

= (2y – 1) (3xy – 5)

(ii) 3ax – 6ay – 8by + 4bx

Solution

(3ax – 6ay) – (8by + 4bx)

Take out common in all terms,

3a(x – 2y) + 4b(x – 2y)

= (x – 2y) (3a + 4b)


5. (i) 1 – a – b + ab

Solution

(1 – a) – (b + ab)

Take out common in all terms,

1(1 – a) – b(1 – a)

= (1 – a) (1 – b)

(ii) a(a – 2b – c) + 2bc

Solution

a(a – 2b – c) + 2bc

Above question can be written as,

(a2 – 2ab) – (ac + 2bc)

Take out common in all terms,

a(a – 2b) – c(a + 2b)

= (a – 2b) (a – c)


6. (i) x2 + xy (1 + y) + y3

Solution

x2 + xy (1 + y) + y3

Above question can be written as,

(x2 + xy) + (xy2 + y3)

Take out common in all terms,

x(x + y) + y2(x + y)

= (x + y) (x + y2)

(ii) y2 – xy (1 – x) – x3

Solution

y2 – xy (1 – x) – x3

Above question can be written as,

(y2 – xy) + (x2y – x3)

Take out common in all terms,

y(y – x) + x2 (y – x)

= (y – x) (y + x2)


7. (i) ab2 + (a – 1)b – 1

Solution

ab2 + (a – 1)b – 1

Above question can be written as,

(ab2 + ab) – (b – 1)

Take out common in all terms,

ab(b + 1) – 1(b + 1)

= (b + 1) (ab – 1)

(ii) 2a – 4b – xa + 2bx

Solution

(2a – 4b) – (xa + 2bx)

Take out common in all terms,

2(a – 2b) – x(a – 2b)

= (a – 2b) (2 – x)


8. (i) 5ph – 10qk + 2rph – 4qrk

Solution

5ph – 10qk + 2rph – 4qrk

Re-arranging the given question we get,

(5ph + 2rph) – (10qk – 4qrk)

Take out common in all terms,

ph(5 + 2r) – 2qk(5 + 2r)

= (5 + 2r) (ph – 2qk)

(ii) x2 – x(a + 2b) + 2ab

Solution

x2 – x(a + 2b) + 2ab

Above question can be written as,

(x2 – xa) – (2xb + 2ab)

Take out common in all terms,

x(x – a) – 2b(x – a)

= (x – a) (x – 2b)


9. (i) ab(x2 + y2) – xy(a2 + b2)

Solution

ab(x2 + y2) – xy(a2 + b2)

Above question can be written as,

abx2 + aby2 – xya2 – xyb2

Re-arranging the above we get,

(abx2 – xyb2) + (aby2 – xya2)

Take out common in all terms,

bx(ax – by) + ay(by – ax)

= bx(ax – by) – ay(ax – by)

= (ax – by) (bx – ay)

(ii) (ax + by)2 + (bx – ay)2

Solution

By expanding the give question, we get,

(ax)2 + (by)2 + 2axby + (bx)2 + (ay)2 – 2bxay

= a2x2 + b2y2 + b2x2 + a2y2

Re-arranging the above we get,

(a2x2 + a2y2) + (b2y2 + b2x2)

Take out common in all terms,

a2 (x2 + y2) + b2 (x2 + y2)

= (x2 + y2) (a2 + b2)


10. (i) a3 + ab(1 – 2a) – 2b2

Solution

a3 + ab(1 – 2a) – 2b2

Above question can be written as,

a3 + ab – 2a2b – 2b2

Re-arranging the above we get,

(a3 – 2a2b) + (ab – 2b2)

Take out common in all terms,

a2(a – 2b) + b(a – 2b)

= (a – 2b) (a2 + b)

(ii) 3x2y – 3xy + 12x – 12

Solution

(3x2y – 3xy) + (12x – 12)

Take out common in all terms,

3xy(x – 1) + 12(x – 1)

= (x – 1) (3xy + 12)


11. a2b + ab2 –abc – b2c + axy + bxy

Solution

a2b + ab2 –abc – b2c + axy + bxy

Re-arranging the above we get,

(a2b – abc + axy) + (ab2 – b2c + bxy)

Take out common in all terms,

a(ab – bc + xy) + b(ab – bc + xy)

= (a + b) (ab – bc + xy)


12. ax2 – bx2 + ay2 – by2 + az2 – bz2

Solution

ax2 – bx2 + ay2 – by2 + az2 – bz2

Re-arranging the above we get,

(ax2 + ay2 + az2) – (bx2 – by2 – bz2)

Take out common in all terms,

a(x2 + y2 + z2) – b(x2 + y2 + z2)

= (x2 + y2 + z2) (a – b)


13. x – 1 – (x – 1)2 + ax – a

Solution

x – 1 – (x – 1)2 + ax – a

By expanding the above we get,

x – 1 – (x2 + 1 – 2x) + ax – a

= x – 1 – x2 -1 + 2x + ax – a

= (2x – x2 + ax) – (2 + x – a)

Take out common in all terms,

x(2 – x + a) – 1(2 – x + a)

= (2 – x + a) (x – 1)


Exercise 4.3


Factorise the following (1 to 17):

1. 4x2 – 25y2

Solution

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

So, (2x)2 – (5y)2

Then, (2x + y) (2x – 5y)

(ii) 9x2 – 1

Solution

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

So, (3x)2 – 12

Then, (3x + 1) (3x – 1)


2. (i) 150 – 6a2

Solution

150 – 6a2

Take out common in all terms,

6(25 – a2)

= 6(52 – a2)

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

So, 6(5 + a) (5 – a)

(ii) 32x2 – 18y2

Solution

32x2 – 18y2

Take out common in all terms,

2(16x2 – 9y2)

= 2((4x)2 – (3y)2)

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

2(4x + 3y) (4x – 3y)


3. (ii) (x – y)2 – 9

Solution

(x – y)2 – 9

= (x – y)2 – 32

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

(x – y + 3) (x – y – 3)

(ii) 9(x + y)2 – x2

Solution

9[(x + y)2 – x2]

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

9[(x + y + x) (x + y – x)]

So, 9(2x + y) y

= 9y(2x + y)


4. (i) 20x2 – 45y2

Solution

20x2 – 45y2

Take out common in all terms,

5(4x2 – 9y2)

= 5((2x)2 – (3y)2)

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

5(2x + 3y) (2x – 3y)

(ii) 9x2 – 4(y + 2x)2

Solution

9x2 – 4(y + 2x)2

Above question can be written as,

(3x)2 – [2(y + 2x)]2

= (3x)2 – (2y + 4x)2

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

(3x + 2y + 4x) (3x – 2y – 4x)

= (7x + 2y) (-x – 2y)


5. (i) 2(x – 2y)2 – 50y2

Solution

2(x – 2y)2 – 50y2

Take out common in all terms,

2[(x – 2y)2 – 25y2]

= 2[(x – 2y)2 – (5y)2]

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

2[(x – 2y + 5y) (x – 2y – 5y)]

= 2[(x + 3y) (x – 7y)]

= 2(x + 3y) (x – 7y)

(ii) 32 – 2(x – 4)2

Solution

32 – 2(x – 4)2

Take out common in all terms,

2[16 – (x – 4)2]

= 2[42– (x – 4)2]

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

2[(4 + x – 4) (4 – x + 4)]

= 2[(x) (8 – x)]

= 2x(8 – x)


6. (i) 108a2 – 3(b – c)2

Solution

108a2 – 3(b – c)2

Take out common in all terms,

3[36a2 – (b – c)2]

= 3[(6a)2 – (b – c)2]

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

3[(6a + b – c) (6a – b + c)]

(ii) πa5 – π3ab2

Solution

πa5 – π3ab2

Take out common in all terms,

πa(a4 – π2b2)

= πa((a2)2 – (πb)2)

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

πa(a2 + πb) (a2 – πb)


7. (i) 50x2 – 2(x – 2)2

Solution

50x2 – 2(x – 2)2

Take out common in all terms,

2[25x2 – (x – 2)2]

= 2[(5x)2 – (x – 2)2]

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

2[(5x + x – 2) (5x – x + 2)]

= 2[(6x – 2) (4x + 2)]

= 2(6x – 2) (4x + 2)

(ii) (x – 2)(x + 2) + 3

Solution

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

(x2 – 22) + 3

= x2 – 4 + 3

= x2 – 1

Then,

(x + 1) (x – 1)


8. (i) x – 2y – x2 + 4y2

Solution

x – 2y – x2 + 4y2

= x – 2y – (x2 + (2y)2)

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

x – 2y – [(x + 2y) (x – 2y)]

Take out common in all terms,

(x – 2y) (1 – (x + 2y))

= (x – 2y) (1 – x – 2y)

(ii) 4a2 – b2 + 2a + b

Solution

4a2 – b2 + 2a + b

= (2a)2 – b2 + 2a + b

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

((2a + b) (2a – b)) + 1(2a + b)

Take out common in all terms,

(2a + b) (2a – b + 1)


9. (i) a(a – 2) – b(b – 2)

Solution

a(a – 2) – b(b – 2)

Above question can be written as,

a2 – 2a – b2 – 2b

Rearranging the above terms, we get,

a2 – b2 – 2a – 2b

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

[(a + b)(a – b)] – 2(a – b)

Take out common in all terms,

(a – b) (a + b – 2)

(ii) a(a – 1) – b(b – 1)

Solution

a(a – 1) – b(b – 1)

Above question can be written as,

a2 – a – b2 + b

Rearranging the above terms, we get,

a2 – b2 – a + b

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

[(a + b)(a – b)] – 1 (a – b)

Take out common in all terms,

(a – b) (a + b – 1)


10. (i) 9 – x+ 2xy – y2

Solution

9 – x+ 2xy – y2

= 9 – x2 + 2xy – y2

Above terms can be written as,

9 – x2 + xy + xy – y2

Now,

9 – x2 + xy + 3x – 3x + 3y – 3y + xy – y2

Rearranging the above terms, we get,

9 – 3x + 3y + 3x – x2 + xy + xy – 3y – y2

Take out common in all terms,

3(3 – x + y) + x(3 – x + y) + y (-3 – y + x)

= 3(3 – x + y) + x(3 – x + y) – y(3 – x + y)

= (3 – x + y) (3 + x – y)

(ii) 9x4 – (x2 + 2x + 1)

Solution

9x4 – (x2 + 2x + 1)

Above terms can be written as,

(3x2)2 – (x + 1)2 … [because (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

So, (3x2 + x + 1) (3x2 – x – 1)


11. (i) 9x4 – x2 – 12x – 36

Solution

9x4 – x2 – 12x – 36

Above terms can be written as,

9x4 – (x2 + 12x + 36)

We know that, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(3x2)2 – (x2 + (2 × 6 × x) + 62)

So, (3x2)2 – (x + 6)2

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

(3x2 + x + 6) (3x2 – x – 6)

(ii) x3 – 5x2 – x + 5

Solution

x3 – 5x2 – x + 5

Take out common in all terms,

x2(x – 5) – 1(x – 5)

= (x – 5) (x2 – 1)

= (x – 5) (x2 – 12)

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

(x – 5) (x + 1) (x – 1)


12. (i) a4 – b4 + 2b2 – 1

Solution

a4 – b4 + 2b2 – 1

Above terms can be written as,

a4 – (b4 – 2b2 + 1)

We know that, (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

a4 – ((b2)2) – (2×b2×1)+12)

= (a2)2 – (b2 – 1)2

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

(a2 + b2 – 1) (a2 – b2 + 1)

(ii) x3 – 25x

Solution

x3 – 25x

Take out common in all terms,

x(x2 – 25)

Above terms can be written as,

x(x2 – 52)

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

x(x + 5) (x – 5)


13. (i) 2x4 – 32

Solution

2x4 – 32

Take out common in all terms,

2(x4 – 16)

Above terms can be written as,

2((x2)2 – 42)

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

2(x2 + 4) (x2 – 4)

= 2(x2 + 4) (x2 – 22)

= 2(x2 + 4) (x + 2) (x – 2)

(ii) a2(b + c) – (b + c)3

Solution

a2(b + c) – (b + c)3

Take out common in all terms,

(b + c) (a2 – (b + c)2)

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

(b + c) (a + b + c) (a – b – c)


14. (i) (a + b)3 – a – b

Solution

(a + b)3 – a – b

Above terms can be written as,

(a + b)3 – (a + b)

Take out common in all terms,

(a + b) [(a + b)2 – 1]

= (a + b) [(a + b)2 – 12]

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

(a + b) (a + b + 1) (a + b – 1)

(ii) x2 – 2xy + y2 – a2 – 2ab – b2

Solution

x2 – 2xy + y2 – a2 – 2ab – b2

Above terms can be written as,

(x2 – 2xy + y2) – (a2 + 2ab + b2)

We know that, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 and (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(x2 – (2×x×y)+y2) – (a2+(2×a×b)+b2)

= (x – y)2 – (a + b)2

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

[(x – y) + (a + b)] [(x – y) – (a + b)]

= (x – y + a + b) (x – y – a – b)


15. (i) (a2 – b2) (c2 – d2) – 4abcd

Solution

(a2 – b2) (c2 – d2) – 4abcd

= a2(c2 – d2) – b2 (c2 – d2) – 4abcd

= a2c2 – a2d2 – b2c2 + b2d2 – 4abcd

= a2c2 + b2d2 – a2d2 – b2c2 – 2abcd – 2abcd

Rearranging the above terms, we get,

a2c2 + b2d2 – 2abcd – a2d2 – b2c2 – 2abcd

We know that, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 and (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(ac – bd)2 – (ad – bc)2

= (ac – bd + ad – bc) (ac – bd – ad + bc)

(ii) 4x2 – y2 – 3xy + 2x – 2y

Solution

4x2 – y2 – 3xy + 2x – 2y

Above terms can be written as,

x2 + 3x2 – y2 – 3xy + 2x – 2y

Rearranging the above terms, we get,

(x2 – y2) + (3x2 – 3xy) + (2x – 2y)

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b) and take out common terms,

(x + y) (x – y) + 3x(x – y) + 2(x – y)

= (x – y) [(x + y) + 3x + 2]

= (x – y) (x + y + 3x + 2)

= (x – y) (4x + y + 2)


16. (i) x2 + 1/x2 – 11

Solution

x2 + 1/x2 – 11

Above terms can be written as,

x2 + (1/x2) – 2 – 9

Then, (x2 + (1/x2) – 2) – 32

We know that, (a – b)2 = a2 – 2ab + b2,

(x2 – (2×x2×(1/x2)) + (1/x)2)

= (x – 1/x)2 – 32

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

(x – 1/x + 3) (x – 1/x – 3)

(ii) x4 + 5x2 + 9

Solution

x4 + 5x2 + 9

= x4 + 6x2 – x2 + 9

= (x4 + 6x2 + 9) – x2

= ((x2)2 +(2×x2×3)+32)

We know that, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2,

((x2)2 +(2×x2×3)+32)

So, (x2 + 3)2 – x2

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

(x2 + 3 + x) (x2 + 3 – x)


17. (i) a4 + b4 – 7a2b2

Solution

a4 + b4 – 7a2b2

Above terms can be written as,

a4 + b4 + 2a2b2 – 9a2b2

We know that, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2,

[(a2)2 + (b2)2 + (2×a2×b2)] – (3ab)2

= (a2 + b2)2 – (3ab)2

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

(a2 + b2 + 3ab) (a2 + b2 – 3ab)

(ii) x4 – 14x2 + 1

Solution

x4 – 14x2 + 1

Above terms can be written as,

x4 + 2x2 + 1 – 16x2

We know that, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2,

So, [(x2)2 + (2×x2×1) + 12] – 16x2

(x2 + 1)2 – (4x)2

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

(x2 + 1 + 4x) (x2 + 1 – 4x)


18. Express each of the following as the difference of two squares:

(i) (x2 – 5x + 7) (x2 + 5x + 7)

Solution

(x2 – 5x + 7) (x2 + 5x + 7)

Rearranging the above terms, we get,

((x2 + 7) – 5x) ((x2 + 7) + 5x)

As, we know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

So, (x2 + 7)2 – (5x)2

(x2 + 7)2 -25x2

(ii) (x2 – 5x + 7) (x2 – 5x – 7)

Solution

(x2 – 5x + 7) (x2 – 5x – 7)

= [(x2 – 5x) + 7) ((x2 – 5x) – 7)

As, we know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

(x2 – 5x)2 – 72

= (x2 – 5x)2 – 49

(iii) (x2 + 5x – 7) (x2 – 5x + 7)

Solution

(x2 + 5x – 7) (x2 – 5x + 7)

[x2 + (5x – 7)] [x2 – (5x – 7)]

As, we know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

x2 – (5x – 7)2

We know that, (a – b)2 = a2 – 2ab + b2,

x2 – [(5x)2 – (2×5x×7)+72]

= x2 – (25x2 – 70x + 49)

= x2 – 25x2 + 70x – 49

= -24x2 + 70x – 49


19. Evaluate the following by using factors:

(i) (979)2 – (21)2

(ii) (99.9)2 – (0.1)2

Solution

(i) (979)2 – (21)2

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

= (979 + 21) (979 – 21)

So we get

= 1000×958

= 958000

(ii) (99.9)2 – (0.1)2

We know that, a2 – b2 = (a + b) (a – b)

= (99.9 + 0.1) (99.9 – 0.1)

So we get

= 100×99.8

= 9980


Exercise 4.4


Factorise the following (1 to 18):

1. (i) x2 + 5x + 6

Solution

x2 + 5x + 6

= x2 + 3x + 2x + 6

Take out common in all terms we get,

x(x + 3) + 2 (x + 3)

= (x + 3) (x + 2)

(ii) x2 – 8x + 7

Solution

x2 – 8x + 7

= x2 – 7x – x + 7

Take out common in all terms we get,

x(x – 7) – 1(x – 7)

= (x – 7) (x – 1)


2. (i) x2 + 6x – 7


Solution

x2 + 6x – 7

= x2 + 7x – x – 7

Take out common in all terms we get,

x(x + 7) – 1(x + 7)

= (x + 7) (x – 1)

(ii) y2 + 7y – 18

Solution

y2 + 7y – 18

= y2 + 9y – 2y – 18

Take out common in all terms we get,

y(y + 9) – 2(y + 9)

= (y + 9) (y – 2)


3. (i) y2 – 7y – 18

Solution

y2 – 7y – 18

= y2 + 2y – 9y – 18

Take out common in all terms we get,

y(y + 2) – 9(y + 2)

= (y + 2) (y – 9)

(ii) a2 – 3a – 54

Solution

a2 – 3a – 54

= a2 + 6a – 9a – 54

Take out common in all terms we get,

a(a + 6) – 9(a + 6)

= (a + 6) (a – 9)


4. (i) 2x2 – 7x + 6

Solution:-

2x2 – 7x + 6

= 2x2 – 4x – 3x + 6

Take out common in all terms we get,

2x(x – 2) – 3(x – 2)

= (x – 2) (2x – 3)

(ii) 6x2 + 13x – 5

Solution

6x2 + 13x – 5

= 6x2 + 15x – 2x – 5

Take out common in all terms we get,

3x(2x + 5) – 1(2x + 5)

= (2x + 5) (3x – 1)


5.


(i) 6x2 + 11x – 10

Solution

6x2 + 11x – 10

= 6x2 + 15x – 4x – 10

Take out common in all terms we get,

3x(2x + 5) – 2(2x + 5)

= (2x + 5) (3x – 2)

(ii) 6x2 – 7x – 3

Solution

6x2 – 7x – 3

= 6x2 – 9x + 2x – 3

Take out common in all terms we get,

3x(2x – 3) + 1(2x – 3)

= (2x – 3) (3x + 1)


6. (i) 2x2 – x – 6

Solution

2x2 – x – 6

= 2x2 – 4x + 3x – 6

Take out common in all terms we get,

2x(x – 2) + 3(x – 2)

= (x – 2) (2x + 3)

(ii) 1 – 18y – 63y2

Solution

1 – 18y – 63y2

= 1 – 21y + 3y – 63y2

Take out common in all terms we get,

1(1 – 21y) + 3y(1 – 21y)

= (1 – 21y) (1 + 3y)


7. (i) 2y2 + y – 45

Solution

2y2 + y – 45

= 2y2 + 10y – 9y – 45

Take out common in all terms we get,

2y (y + 5) – 9(y + 5)

= (y + 5) (2y – 9)

(ii) 5 – 4x – 12x2

Solution

5 – 4x – 12x2

= 5 – 10x + 6x – 12x2

Take out common in all terms we get,

5(1 – 2x) + 6x(1 – 2x)

= (1 – 2x) (5 + 6x)


8. (i) x(12x + 7) – 10

Solution

x(12x + 7) – 10

Above terms can be written as,

12x2 + 7x – 10

= 12x2 + 15x – 8x – 10

Take out common in all terms we get,

3x(4x + 5) – 2(4x + 5)

= (4x + 5) (3x – 2)

(ii) (4 – x)2 – 2x

Solution

(4 – x)2 – 2x

We know that, (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

So, (42 –(2×4×x)+ x2) – 2x

= 16 – 8x + x2 – 2x

= x2 – 10x + 16

= x2 – 8x – 2x + 16

Take out common in all terms we get,

x(x – 8) – 2(x – 8)

= (x – 8) (x -2)


9. (i) 60x2 – 70x – 30

Solution

60x2 – 70x – 30

Take out common in all terms we get,

10(6x2 – 7x – 3)

= 10(6x2 – 9x + 2x – 3)

Again, take out common in all terms we get,

10(3x(2x – 3) + 1(2x – 3))

= 10(2x – 3) (3x + 1)

(ii) x2 – 6xy – 7y2

Solution

x2 – 6xy – 7y2

= x2 – 7xy + xy – 7y2

Take out common in all terms we get,

x(x – 7y) + y(x – 7y)

= (x – 7y) (x + y)


10. (i) 2x2 + 13xy – 24y2

Solution

2x2 + 13xy – 24y2

= 2x2 + 16xy – 3xy – 24y2

Take out common in all terms we get,

2x(x + 8y) – 3y(x + 8y)

= (x + 8y) (2x – 3y)

(ii) 6x2 – 5xy – 6y2

Solution

6x2 – 5xy – 6y2

= 6x2 – 9xy + 4xy – 6y2

Take out common in all terms we get,

3x(2x – 3y) + 2y (2x – 3y)

= (2x – 3y) (3x + 2y)


11. (i) 5x2 + 17xy – 12y2

Solution

5x2 + 17xy – 12y2

= 5x2 + 20xy – 3xy – 12y2

Take out common in all terms we get,

5x(x + 4y) – 3y(x + 4y)

= (x + 4y) (5x – 3y)

(ii) x2y2 – 8xy – 48

Solution

x2y2 – 8xy – 48

= x2y2 – 12xy + 4xy – 48

Take out common in all terms we get,

xy(xy – 12) + 4(xy – 12)

= (xy – 12) (xy + 4)


12. (i) 2a2b2 – 7ab – 30

Solution

2a2b2 – 7ab – 30

= 2a2b2 – 12ab + 5ab – 30

Take out common in all terms we get,

2ab(ab – 6) + 5 (ab – 6)

= (ab – 6) (2ab + 5)

(ii) a(2a – b) – b2

Solution

a(2a – b) – b2

Above terms can be written as,

2a2 – ab – b2

= 2a2 – 2ab + ab – b2

Take out common in all terms we get,

2a(a – b) + b(a – b)

= (a – b) (2a + b)


13. (i) (x – y)2 – 6(x – y) + 5

Solution

(x – y)2 – 6(x – y) + 5

Above terms can be written as,

(x – y)2 – 5(x – y) – (x – y) + 5

= {(x – y) (x – y – 5)} – {1(x – y – 5)}

Then,

(x – y – 5) (x – y – 1)

(ii) (2x – y)2 – 11(2x – y) + 28

Solution

(2x – y)2 – 11(2x – y) + 28

Above terms can be written as,

= (2x – y)2 – 7(2x – y) – 4(2x – y) + 28

= (2x – y) (2x – y – 7) – 4(2x – y – 7)

= (2x – y – 7) (2x – y – 4)


14. (i) 4(a – 1)2 – 4(a – 1) – 3

Solution

4(a – 1)2 – 4(a – 1) – 3

Above terms can be written as,

4(a – 1)2 – 6(a – 1) + 2(a – 1) – 3

Take out common in all terms we get,

2(a – 1) [2(a – 1) – 3] + 1[2(a – 1) – 3]

= (2(a – 1) – 3) (2(a – 1) + 1)

= (2a – 2 – 3) (2a – 2 + 1)

= (2a – 5) (2a – 1)

(ii) 1 – 2a – 2b – 3(a + b)2

Solution

1 – 2a – 2b – 3(a + b)2

Above terms can be written as,

1 – 2(a + b) – 3(a + b)2

= 1 – 3(a + b) + (a + b) – 3(a + b)2

Take out common in all terms we get,

1(1 – 3(a + b)) + (a + b) (1 – (a + b))

= (1 – 3(a + b)) (1 + (a + b))

= (1 – 3a + 3b) (1 + a + b)


15. (i) 3 – 5a – 5b – 12(a + b)2

Solution

3 – 5a – 5b – 12(a + b)2

Above terms can be written as,

3 – 5(a + b) – 12(a + b)2

= 3 – 9(a + b) + 4(a + b) – 12(a + b)2

Take out common in all terms we get,

3(1 – 3(a + b)) + 4(a + b) (1 – 3(a + b))

= (1 – 3(a + b)) (3 + 4(a + b))

= (1 – 3a – 3b) (3 + 4a + 4b)

(ii) a4 – 11a2 + 10

Solution

a4 – 11a2 + 10

Above terms can be written as,

a4 – 10a2 – a2 + 10

Take out common in all terms we get,

a2 (a2 – 10) – 1(a2 – 10)

= (a2 – 10) (a2 – 1)


16. (i) (x + 4)2 – 5xy -20y – 6y2

Solution

(x + 4)2 – 5xy -20y – 6y2

Above terms can be written as,

(x + 4)2 – 5y(x + 4) – 6y2

= (x + 4)2 – 6y(x + 4) + y(x + 4) – 6y2

Take out common in all terms we get,

(x + 4) (x + 4 – 6y) + y(x + 4 – 6y)

= (x – 6y + 4) (x + 4 + y)

(ii) (x2 – 2x2) – 23(x2 – 2x) + 120

Solution

(x2 – 2x2) – 23(x2 – 2x) + 120

Above terms can be written as,

(x2 – 2x)2 – 15(x2 – 2x) – 8(x2 – 2x) + 120

Take out common in all terms we get,

(x2 – 2x) (x2 – 2x – 15) – 8(x2 – 2x – 15)

= (x2 – 2x – 15) (x2 – 2x – 8)


17. 4(2a – 3)2 – 3(2a – 3) (a – 1) – 7 (a – 1)2

Solution

4(2a – 3)2 – 3(2a – 3) (a – 1) – 7 (a – 1)2

Let us assume, 2a – 3 = p and a – 1 = q

So, 4p2 – 3pq – 7q2

Then, 4p2 – 7pq + 4pq – 7q2

Take out common in all terms we get,

p(4p – 7q) + q(4p – 7q)

= (4p – 7q) (p + q)

Now, substitute the value of p and q we get,

(4(2a – 3) – 7(a – 1)) (2a – 3 + a – 1)

= (8a – 12 – 7a + 7) (3a – 4)

= (a – 5) (3a – 4)


18. (2x2 + 5x) (2x2 + 5x – 19) + 84

Solution

(2x2 + 5x) (2x2 + 5x – 19) + 84

Let us assume, 2x2 + 5x = p

So, (p)(p – 19) + 84

= p2 – 19p + 84

= p2 – 12p – 7p + 84

= p(p – 12) – 7(p – 12)

= (p – 12) (p – 7)

Now, substitute the value of p we get,

(2x2 + 5x – 12) (2x2 + 5x – 7)


Exercise 4.5


Factorise the following (1 to 13):

1. (i) 8x3 + y3

Solution

8x3 + y3

Above terms can be written as,

(2x)3 + y3

We know that, a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

Where, a = 2x, b = y

Then, (2x)3 + y3 = (2x + y) [(2x)2 – (2x×y) + y2]

= (2x + y) (4x2 – 2xy + y2)

(ii) 64x3 – 125y3

Solution

64x3 – 125y3

Above terms can be written as,

(4x)3 – (5y)3

We know that, a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

Where, a = 4x, b = 5y

Then, (4x)3 – (5y)3 = (4x – 5y) [(4x)2 + (4x×5y) + 5y2]

= (4x – 5y) (16x2 + 20xy + 25y2)


2. (i) 64x3 + 1

Solution

64x3 + 1

Above terms can be written as,

(4x)3 + 13

We know that, a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

Where, a = 4x, b = 1

Then, (4x)3 + 13 = (4x+1) [(4x)2 – (4x×1) + 12]

= (4x + 1) (16x2 – 4x + 1)

(ii) 7a3 + 56b3

Solution

7a3 + 56b3

Take out common in all terms we get,

7(a3 + 8b3)

Above terms can be written as,

7(a3 + (2b)3)

We know that, a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

Where, a = a, b = 2b

Then, 7[(a)3 + (2b)3] = 7[(a + 2b) {(a)2 –(a×2b)+(2b)2}]

= 7(a + 2b) (a2 – 2ab + 4b2)


3. (i) (x6/343) + (343/x6)

Solution

(x6/343) + (343/x6)

Above terms can be written as,

(x2/7)3 + (7/x2)3

We know that, a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

Where, a = (x2/7), b = (7/x2)

Then, (x2/7)3 + (7/x2)3 = [(x2/7) + (7/x2)] [(x2/7)2 – ((x2/7) × (7/x2)) + (7/x2)2]

= [(x2/7) + (7/x2)] [(x4/49) – 1 + (49/x4)]

(ii) 8x3 – 1/27y3

Solution

8x3 – 1/27y3

Above terms can be written as,

(2x)3 – (1/3y)3

We know that, a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

Where, a = 2x, b = (1/3y)

Then, (2x)3 – (1/3y)3 = [2x – (1/3y)] [(2x)2 +{2x×(1/3y)}+(3y)2]

= (2x – (1/3y)) (4x2 + (2x/3y) + 9y2)


4. (i) x2 + x5

Solution

x2 + x5

Take out common in all terms we get,

x2(1 + x3)

= x2(13 + x3)

We know that, a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

Where, a = 1, b = x

= x2 [(1+x){12 –(1×x)+x2}]

= x2(1 + x) (1 – x + x2)

(ii) 32x4 – 500x

Solution

32x4 – 500x

Take out common in all terms we get,

4x(8x3 – 125)

Above terms can be written as,

4x[(2x)3 – 53]

We know that, a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

Where, a = 2x, b = 5

= 4x(2x – 5) [(2x)2 + (2x×5) + 52]

= 4x(2x – 5) (4x2 + 10x + 25)


5. (i) 27x3y3 – 8

Solution

27x3y3 – 8

Above terms can be written as,

(3xy)3 – 23

We know that, a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

Where, a = 3xy, b = 2

= (3xy – 2) [(3xy)2 +(3xy×2)+ 22]

= (3xy – 2) (9x2y2 + 6xy + 4)

(ii) 27(x + y)3 + 8(2x – y)3

Solution

27(x + y)3 + 8(2x – y)3

Above terms can be written as,

33(x + y)3 + 23(2x – y)3

= [3(x+y)]3 + [2(x–y)]3

We know that, a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

Where, a = 3(x+y), b = 2(x–y)

= [3(x+y) + 2(2x–y)] [{3(x+y)}3 – {3(x+y)×2(2x–y)}+{2(2x–y)}2]

= [3x + 3y + 4x – 2y] [9(x + y)2 – 6(x + y)(2x – y) + 4(2x – y)2]

= (7x – y) [9(x2 + y2 + 2xy) – 6(2x2 – xy + 2xy – y2) + 4(4x2 + y2 – 4xy)]

= (7x – y) [9x2 + 9y2 + 18xy – 12x2 – 6xy – 6y2 + 16x2 + 4y2 – 16xy]

= (7x – y) [13x2 – 4xy + 19y2]


6. (i) a3 + b3 + a + b

Solution

a3 + b3 + a + b

= (a3 + b3) + (a + b)

We know that, a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

[(a + b) (a2 – ab + b2)] + (a + b)

= (a + b) (a2 – ab + b2 + 1)

(ii) a3 – b3 – a + b

Solution

a3 – b3 – a + b

= (a3 – b3) – (a – b)

We know that, a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

[(a – b) (a2 + ab + b2)] – (a – b)

= (a – b) (a2 + ab + b2 – 1)


7. (i) x3 + x + 2

Solution

x3 + x + 2

Above terms can be written as,

x3 + x + 1 + 1

Rearranging the above terms, we get

(x3 + 1) (x + 1)

= (x3 + 13) (x + 1)

We know that, a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

[(x + 1) (x2 – x + 1)] + (x + 1)

= (x + 1) (x2 – x + 1 + 1)

= (x + 1) (x2 – x + 2)

(ii) a3 – a – 120

Solution

a3 – a – 120

Above terms can be written as,

a3 – a – 125 + 5

Rearranging the above terms, we get

a3 – 125 – a + 5

= (a3 – 125) – (a – 5)

= (a3 – 53) – (a – 5)

We know that, a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

[(a – 5) (a2 + 5a + 52)] – (a – 5)

= (a – 5) (a2 + 5a + 25) – (a – 5)

= (a – 5) (a2 + 5a + 25 – 1)

= (a – 5) (a2 + 5a + 24)


8. (i) x3 + 6x2 + 12x + 16

Solution

x3 + 6x2 + 12x + 16

= x3 + 6x2 + 12x + 8 + 8

Above terms can be written as,

[x3 + (3×2×x2) + (3×22×x) + 23] + 8

We know that, (a + b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2

Now a = x and b = 2

So, (x + 2)3 + 23

We know that, a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

(x + 2 + 2) [(x+2)2 – (2×(x+2) + 22]

= (x + 4) (x2 + 4 + 4x – 2x – 4 + 4)

= (x + 4) (x2 + 2x + 4)

(ii) a3 – 3a2b + 3ab2 – 2b3

Solution

a3 – 3a2b + 3ab2 – 2b3

Above terms can be written as,

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 – b3

We know that, (a – b)3 = a3 – b3 – 3a2b + 3ab2

So, (a – b)3 + b3

We also know that, a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

Where, a = a – b, b = b

(a – b – b) ((a – b)2 + (a – b)b + b2)

= (a – 2b) (a2 + b2 – 2ab + ab – b2 + b2)

= (a – 2b) (a2 + b2 – ab)


9. (i) 2a3 + 16b3 – 5a – 10b

Solution

2a3 + 16b3 – 5a – 10b

Above terms can be written as,

2(a+ 8b3) – 5(a + 2b)

= 2(a3 + (2b)3) – 5(a + 2b)

We know that, a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

2[(a + 2b) (a2 – 2ab + 4b2)] – 5(a + 2b)

= (a + 2b) (2a2 – 4ab + 8b2 – 5)

(ii) a3 – (1/a3) – 2a + 2/a

Solution

a3 – (1/a3) – 2a + 2/a

= [a3 – (1/a)3] – 2a + 2/a

We know that, a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

[(a – 1/a) {a2 + (a× 1/a) + (1/a)2}] – 2(a – 1/a)

= [(a – 1/a) (a2 + 1 + 1/a2)] – 2(a – 1/a)

= (a – 1/a) (a2 + 1 + 1/a2 – 2)

= (a – 1/a) (a2 + 1/a2 – 1)


10. (i) a6 – b6

Solution

a6 – b6

Above terms can be written as,

(a2)3 – (b2)3

We know that, a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

So, a = a2, b = b2

(a2 – b2) [(a2)2) + a2b2 + (b2)2]

= (a2 – b2) (a4 + a2b2 + b4)

(ii) x6 – 1

Solution

x6 – 1

Above terms can be written as,

(x2)3 – 13

We know that, a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

So, a = x2, b = 1

(x2 – 1) [(x2)2 + (x2×1) + 12]

= (x2 – 1) (x4 + x2 + 1)


11. (i) 64x6 – 729y6

Solution

64x6 – 729y6

Above terms can be written as,

(2x)6 – (3y)6

= [(2x)2]3 – [(3y)2]3

We know that, a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

So, a = (2x)2, b = (3y)2

= [(2x)2 – (3y)2] [((2x)2)2 + {(2x)2×(3y)2} + ((3y)2)2]

= (4x2 – 9y2) [16x4 + (4x2×9y2) + (9y2)2]

= (4x2 – 9y2) [16x4 + 36x2y2 + 81y4] [(2x)2 – (3y)2] [16x4 + 36x2y2 + 81y4]

= (2x + 3y) (2x – 3y) (16x4 + 36x2y2 + 81y4)

(ii) x3 – (8/x)

Solution

x3 – (8/x)

Above terms can be written as,

(1/x) (x3 – 8)

= (1/x) [(x)3 – (2)3]

We know that, a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

So, a = x, b = 2

= (1/x) (x – 2) (x2 + 2x + 4)


12. (i) 250 (a – b)3 + 2

Solution

250 (a – b)3 + 2

Take out common in all terms we get,

2(125(a – b)3 + 1)

= 2[(5(a – b))3 + 13]

We know that, a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

= 2[(5a – 5b + 1){(5a – 5b)2 – (5a – 5b)1 + 12}]

= 2(5a – 5b + 1) (25a2 + 25b2 – 50ab – 5a + 5b + 1)

(ii) 32a2x3 – 8b2x3 – 4a2y3 + b2y3

Solution

32a2x3 – 8b2x3 – 4a2y3 + b2y3

Take out common in all terms we get,

8x3(4a2 – b2) – y3(4a2 – b2)

= (4a2 – b2) (8x3 – y3)

Above terms can be written as,

[(2a)2 – b2] [(2x)– y3]

We know that, a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) and (a2 – b2) = (a + b) (a – b)

(2a + b) (2a – b) [(2x – y) {(2x)2 + 2xy + y2}]

= (2a + b) (2a – b) (2x – y) (4x2 + 2xy + y2)


13. (i) x9 + y9

Solution

x9 + y9

Above terms can be written as,

(x3)3 + (y3)3

We know that, a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

Where, a = x3, b = y3

(x3 + y3) [(x3)2 – x3y3 + (y3)2]

= (x3 + y3) (x6 – x3y3 + y6)

Then, (x3 + y3) in the form of (a3 + b3)

(x + y)(x2 – xy + y2) (x6 – x3y3 + y6)

(ii) x6 – 7x3 – 8

Solution

X6 – 7x3 – 8

Above terms can be written as,

(x2)3 – 7x3 – x3 + x3 – 8

= (x2)3 – 8x3 + x3 – 23

= [((x2)3) – (2x)3] + (x3 – 23)

We know that, a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

(x2 – 2x) [(x2)2 + (x2×2x) + (2x)2] + (x – 2) (x2 + 2x + 22)

= (x2 – 2x) (x4 + 2x3 + 4x2) + (x – 2) (x2 + 2x + 4)

= x(x – 2) x2(x2 + 2x + 4) + (x – 2) (x2 + 2x + 4)

Take out common in all terms we get,

(x – 2) (x2 + 2x + 4) [(x×x2) + 1]

= (x – 2) (x2 + 2x + 4) (x3 + 1)

So, above terms are in the form of a3 + b3

Therefore, (x – 2) (x2 + 2x + 4) (x + 1) (x2 – x + 1)


Chapter test


Factorise the following (1 to 12):

1. (i) 15(2x – 3)3 – 10(2x – 3)

Solution

15(2x – 3)3 – 10(2x – 3)

Take out common in both terms,

Then, 5(2x – 3) [3(2x – 3)2 – 2]

(ii) a(b – c) (b + c) – d(c – b)

Solution

a(b – c) (b + c) – d(c – b)

Above terms can be written as,

a(b – c) (b + c) + d(b – c)

Take out common in both terms,

(b – c) [a(b + c) + d]

= (b – c) (ab + ac + d)


2. (i) 2a2x – bx + 2a2 – b

Solution

2a2x – bx + 2a2 – b

Rearrange the above terms we get,

2a2x + 2a – bx – b

Take out common in both terms,

2a2(x + 1) – b(x + 1)

= (x + 1) (2a2 – b)

(ii) p2 – (a + 2b)p + 2ab

Solution

p2 – (a + 2b)p + 2ab

Above terms can be written as,

p2 – ap – 2bp + 2ab

Take out common in both terms,

p(p – a) – 2b(p – a)

= (p – a) (p – 2b)


3. (i) (x2 – y2)z + (y2 – z2)x

Solution

(x2 – y2)z + (y2 – z2)x

Above terms can be written as,

zx2 – zy2 + xy2 – xz2

Rearrange the above terms we get,

zx2 – xz2 + xy2 – zy2

Take out common in both terms,

zx(x – z) + y2(x – z)

= (x – z) (zx + y2)

(ii) 5a4 – 5a3 + 30a2 – 30a

Solution

5a4 – 5a3 + 30a2 – 30a

Take out common in both terms,

5a(a3 – a2 + 6a – 6)

= 5a[a2(a – 1) + 6(a – 1)]

= 5a(a – 1) (a2 + 6)


4. (i) b(c -d)2 + a(d – c) + 3c – 3d

Solution

b(c -d)2 + a(d – c) + 3c – 3d

Above terms can be written as,

= b(c – d)2 – a(c – d) + 3c – 3d

= b(c – d)2 – a(c – d) + 3(c – d)

Take out common in both terms,

(c – d) [b(c – d) – a + 3]

= (c – d) (bc – bd – a + 3)

(ii) x3 – x2 – xy + x + y – 1

Solution

x3 – x2 – xy + x + y – 1

Rearrange the above terms we get,

x3 – x2 – xy + y + x – 1

Take out common in both terms,

x2(x – 1) – y(x – 1) + 1(x – 1)

= (x – 1) (x2 – y + 1)


5. (i) x(x + z) – y (y + z)

Solution

x(x + z) – y (y + z)

= x2 + xz – y2 – yz

Rearrange the above terms we get,

x2 – y2 + xz – yz

We know that, (a2 – b2) = (a + b) (a – b)

So, (x + y) (x – y) + z(x – y)

= (x – y) (x + y + z)

(ii) a12x4 – a4x12

Solution

a12x4 – a4x12

Take out common in both terms,

a4x4 (a8 – x8)

= a4x4((a4)2 – (x4)2)

We know that, (a2 – b2) = (a + b) (a – b)

a4x4 (a4 + x4) (a4 – x4)

= a4x4 (a4 + x4) ((a2)2 – (x2)2)

= a4x4(a4 + x4) (a2 + x2) (a2 – x2)

= a4x4 (a4 + x4) (a2 + x2) (a + x) (a – x)


6. (i) 9x2 + 12x + 4 – 16y2

Solution

9x2 + 12x + 4 – 16y2

Above terms can be written as,

(3x)2 + (2×3x×2) + 22 – 16y2

Then, (3x + 2)2 + (4y)2

= (3x + 2 + 4y) (3x + 2 – 4y)

(ii) x4 + 3x2 + 4

Solution

x4 + 3x2 + 4

Above terms can be written as,

(x2)2 + 3(x2) + 4

= (x2)2 + (2)2 + 4x2 – x2

= (x2 + 2)2 – (x2)

We know that, (a2 – b2) = (a + b) (a – b)

(x2 + 2 + x) (x2 + 2 – x)

= (x2 + x + 2) (x2 – x + 2)


7. (i) 21x2 – 59xy + 40y2

Solution

21x2 – 59xy + 40y2

By multiplying the first and last term we get, 21×40 = 840

Then, (-35)×(-24) = 840

So, 21x2 – 35xy – 24xy + 40y2

= 7x(3x – 5y) – 8y(3x – 5y)

= (3x – 5y) (7x – 8y)

(ii) 4x3y – 44x2y + 112xy

Solution

4x3y – 44x2y + 112xy

Take out common in all terms,

4xy(x2 – 11x + 28)

Then, 4xy (x2 – 7x – 4x + 28)

= 4xy [x(x – 7) – 4(x + 7)]

= 4xy (x – 7) (x – 4)


8. (i) x2y2 – xy – 72

Solution

x2y2 – xy – 72

= x2y2 – 9xy + 8xy – 72

Take out common in all terms,

xy(xy – 9) + 8(xy – 9)

= (xy – 9) (xy + 8)

(ii) 9x3y + 41x2y2 + 20xy3

Solution

9x3y + 41x2y2 + 20xy3

Take out common in all terms,

xy(9x2 + 41xy + y2)

Above terms can be written as,

xy (9x2 + 36xy + 5xy + 20y2)

= xy [9x(x + 4y) + 5y(x + 4y)]

= xy (x + 4y) (9x + 5y)


9. (i) (3a – 2b)2 + 3(3a – 2b) – 10

Solution

(3a – 2b)2 + 3(3a – 2b) – 10

Let us assume, (3a – 2b) = p

p2 + 3p – 10

= p2 + 5p – 2p – 10

Take out common in all terms,

p(p + 5) – 2(p + 5)

= (p + 5) (p – 2)

Now, substitute the value of p

(3a – 2b + 5) (3a – 2b – 2)

(ii) (x2 – 3x) (x2 – 3x + 7) + 10

Solution

(x2 – 3x) (x2 – 3x + 7) + 10

Let us assume, (x2 – 3x) = q

q (q + 7) + 10

= q2 + 7q + 10

= q2 + 5q + 2q + 10

= q(q + 5) + 2(q + 5)

= (q + 5) (q + 2)

Now, substitute the value of q

(x2 – 3x + 5) (x2 – 3x + 2)


10. (i) (x2 – x) (4x2 – 4x – 5) – 6

Solution

(x2 – x) (4x2 – 4x – 5) – 6

= (x2 – x) [(4x2 – 4x) – 5] – 6

= (x2 – x) [4(x2 – x) – 5] – 6

Let us assume x2 – x = q

So, q[4q – 5] – 6

= 4q2 – 5q – 6

= 4q2 – 8q + 3q – 6

= 4q(q – 2) + 3(q – 2)

= (q – 2) (4q + 3)

Now, substitute the value of q

(x2 – x – 2) (4(x2 – x) + 3)

= (x2 – x – 2) (4x2 – 4x + 3)

= (x2 – 2x + x – 2) (4x2 – 4x + 3)

= [x(x – 2) + 1(x – 2)] (4x2 – 4x + 3)

= (x – 2) (x + 1) (4x2 – 4x + 3)

(ii) x4 + 9x2y2 + 81y4

Solution

x4 + 9x2y2 + 81y4

Above terms can be written as,

x4 + 18x2y2 + 81y4 – 9x2y2

= [(x2)2 + (2×x2×9y2) + (9y2)2] – 9x2y2

We know that, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(x2 + 9y2)2 – (3xy)...[using a2- b2 = (a+b) (a-b)]

= (x2 + 9y2 + 3xy) (x2 + 9y2 – 3xy)


11. (i) (8/27)x3 – (1/8)y3

Solution

(8/27)x3 – (1/8)y3

Above terms can be written as,

{(2/3)x}3 – (½y)3

We know that, a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

{(2/3)x – ½y} [(2/3)x + (2/3)x (1/2)y + {(1/2)y}2]

= [(2/3)x – (1/2)y] [(4/9)x2 + (xy/3) + (y2/4)]

(ii) x6 + 63x3 – 64

Solution

x6 + 63x3 – 64

Above terms can be written as,

x6 + 64x3 – x3 – 64

Take out common in all terms,

x3 (x3 + 64) – 1(x3 + 64)

= (x3 + 64) (x3 – 1)

= (x3 + 43) (x3 – 13)

We know that, a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) and a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

So, (x + 4) [x2 – 4x + 42] (x – 1) [x2 + x + 12]

= (x + 4) (x2 – 4x + 16) (x – 1) (x2 + x + 1)


12. (i) x3 + x2 – (1/x2) + (1/x3)

Solution

x3 + x2 – (1/x2) + (1/x3)

Rearranging the above terms, we get,

x3 + (1/x3) + x2 – (1/x2)

We know that, a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) and (a2 – b2) = (a + b) (a – b)

(x + 1/x) (x2 – 1 + 1/x2) + (x + 1/x) (x – 1/x)

= (x + 1/x) [x2 – 1 + 1/x2 + x – 1/x]

(ii) (x + 1)6 – (x – 1)6

Solution

(x + 1)6 – (x – 1)6

Above terms can be written as,

[(x + 1)3]2 – [(x – 1)3]2

We know that, (a2 – b2) = (a + b) (a – b)

[(x+1)3 + (x–1)3] [(x+1)3 – (x–1)3]

Using, a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) and a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

= [(x+1)+(x–1)][(x+1)2 – (x–1)(x+1) + (x–1)2] [(x+1) – (x–1)][(x+1)2 + (x–1)(x+1) + (x–1)2]

= (x+1+x–1)[x2+2x+1–x2+1+x2+1– 2x(x+1) – x+1] [x2+2x+1+x2–1+x2–2x+1]

By simplifying we get,

2x(x2 + 3) 2(3x2 + 1)

= 4x(x2 + 3) (3x2 + 1)


13. Show that (97)3 + (14)3 is divisible by 111

Solution

From the question,

(97)3 + (14)3

We know that, a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

So, (97 + 14) [(97)2 – (97×14) + (14)2]

= 111 [(97)2 – (97×14) + (14)2]

Therefore, it is clear that the given expression is divisible by 111.


14. If a + b = 8 and ab = 15, find the value of a4 + a2b2 + b4.

Solution

a4 + a2b2 + b4

Above terms can be written as,

a4 + 2a2b2 + b4 – a2b2

= (a2)2 + 2a2b2 + (b2)2 – (ab)2

= (a2 + b2)2 – (ab)2

= (a2 + b2 + ab) (a2 + b – ab)

a + b = 8, ab = 15

So, (a + b)2 = 82

= a2 + 2ab + b2 = 64

= a2 + 2(15) + b2 = 64

= a2 + b2 + 30 = 64

By transposing,

a2 + b2 = 64 – 30

= a2 + b2 = 34

Then, a4 + a2b2 + b4

= (a2 + b2 + ab) (a2 + b2 – ab)

= (34 + 15) (34 – 15)

= 49 ×19

= 931

Previous Post Next Post