Chapter 4 Factorization ML Aggarwal ICSE Solutions for Class 9 Maths

ML Aggarwal Solutions for Chapter 4 Factorization Class 9 Maths ICSE

Here, we are providing the solutions for Chapter 4 Factorization from ML Aggarwal Textbook for Class 9 ICSE Mathematics. Solutions of the second chapter has been provided in detail. This will help the students in understanding the chapter more clearly. Class 9 Chapter 4 Factorization ML Aggarwal Solutions for ICSE is one of the most important chapter for the board exams which is based on factorising polynomials by taking common terms, using identities and suitable formulae. The polynomials included are cubic, quadratic, or biquadratic polynomials. We also learn factorization by transpose, splitting the middle term and by substitution.

Exercise 4.1

Factorise the following (1 to 9):

1. (i) 8xy³ + 12x²y²

Solution

8xy³ + 12x²y²

Take out 4xy² common in both terms,

Then, 4xy²(2y + 3x)

Therefore, HCF of 8xy³ and 12x²y² is 4xy².

(ii) 15 ax³ – 9ax²

Solution

15 ax³ – 9ax²

Take out 3ax² common in both terms,

Then, 3ax²(5x – 3)

Therefore, HCF of 15 ax³ and 9ax² is 3ax².

2. (i) 21py² – 56py

Solution

21py² – 56py

Take out 7py common in both terms,

Then, 7py(3y – 8)

Therefore, HCF of 21py² and 56py is 7py.

(ii) 4x³ – 6x²

Solution

4x³ – 6x²

Take out 2x² common in both terms,

Then, 2x²(2x – 3)

Therefore, HCF of 4x³ and 6x² is 2x².

3. (i) 2πr² – 4πr

Solution

2πr² – 4πr

Take out 2πr common in both terms,

Then, 2πr(r – 2)

Therefore, HCF of 2πr² and 4πr is 2πr.

(ii) 18m + 16n

Solution

18m + 16n

Take out 2 common in both terms,

Then, 2(9m – 8n)

Therefore, HCF of 18m and 16n is 2.

4. (i) 25abc² – 15a²b²c

Solution

25abc² – 15a²b²c

Take out 5abc common in both terms,

Then, 5abc(5c – 3ab)

Therefore, HCF of 25abc² and 15a²b²c is 5abc.

(ii) 28p²q²r – 42pq²r²

Solution

28p²q²r – 42pq²r²

Take out 14pq²r common in both terms,

Then, 14pq²r(2p – 3r)

Therefore, HCF of 28p²q²r and 42pq²r² is 14pq²r.

5. (i) 8x³ – 6x² + 10x

Solution

8x³ – 6x² + 10x

Take out 2x common in both terms,

Then, 2x(4x² – 3x + 5)

Therefore, HCF of 8x³, 6x² and 10x is 2x.

(ii) 14mn + 22m – 62p

Solution

14mn + 22m – 62p

Take out 2 common in both terms,

Then, 2(7mn + 11m – 31p)

Therefore, HCF of 14mn, 22m and 62p is 2.

6. (i) 18p²q² – 24pq² + 30p²q

Solution

18p²q² – 24pq² + 30p²q

Take out 6pq common in both terms,

Then, 6pq(3pq – 4q + 5p)

Therefore, HCF of 18p²q², 24pq² and 30p²q is 6pq.

(ii) 27a³b³ – 18a²b³ + 75a³b²

Solution

27a³b³ – 18a²b³ + 75a³b²

Take out 3a²b² common in both terms,

Then, 3a²b²(9a – 6b + 25a)

Therefore, HCF of 27a³b³, 18a²b³ and 75a³b² is 3a²b².

7. (i) 15a(2p–3q) – 10b(2p–3q)

Solution

15a (2p – 3q) – 10b (2p – 3q)

Take out 5(2p – 3q) common in both terms,

Then, 5(2p–3q)[3a – 2b]

Therefore, HCF of 15a (2p – 3q) and 10b (2p – 3q) is 5(2p–3q).

(ii) 3a(x² + y²) + 6b (x² + y²)

Solution

3a(x² + y²) + 6b (x² + y²)

Take out 3(x² + y²) common in all terms,

Then, 3(x² + y²)(a + 2b)

Therefore, HCF of 3a(x² + y²) and 6b (x² + y²) is 3(x² + y²).

8. (i) 6(x + 2y)³ + 8(x + 2y)²

Solution

6(x + 2y)³ + 8(x + 2y)²

Take out 2(x + 2y)² common in all terms,

Then, 2(x + 2y)²[3(x + 2y) + 4]

Therefore, HCF of 6(x + 2y)³ and 8(x + 2y)² is 2(x + 2y)².

(ii) 14(a – 3b)³ – 21p(a – 3b)

Solution

14(a – 3b)³ – 21p(a – 3b)

Take out 7(a – 3b) common in all terms,

Then, 7(a – 3b)[2(a – 3b)² – 3p]

Therefore, HCF of 14(a – 3b)³ and 21p(a – 3b) is 7(a – 3b).

9. (i) 10a(2p + q)³ – 15b(2p + q)² + 35(2p + q)

Solution

10a(2p + q)³ – 15b (2p + q)² + 35 (2p + q)

Take out 5(2p + q) common in all terms,

Then, 5(2p + q)[2a (2p + q)² – 3b (2p + q) + 7]

Therefore, HCF of 10a(2p + q)³, 15b(2p + q)² and 35(2p + q) is 5(2p + q).

(ii) x(x² + y² – z²) + y(-x² – y² + z²) – z (x² + y – z²)

Solution

x(x² + y² – z²) + y(-x² – y² + z²) – z (x² + y – z²)

Take out (x² + y² – z²) common in all terms,

Then, (x² + y² – z²)[x – y – z]

Therefore, HCF of x(x² + y² – z²), y(-x² – y² + z²) and z (x² + y – z²) is (x² + y² – z²)

Exercise 4.2

Factorise the following (1 to 13):

1. (i) x² + xy – x – y

Solution

(x² + xy) – (x – y)

Take out common in all terms,

x(x + y) – 1(x + y)

= (x + y) (x – 1)

(ii) y² – yz – 5y + 5z

Solution

(y² – yz) – (5y + 5z)

Take out common in all terms,

y(y – z) – 5(y – z)

= (y – z) (y – 5)

2. (i) 5xy + 7y – 5y² – 7x

Solution

(5xy – 7x) – (5y² + 7y)

Take out common in all terms,

x(5y – 7) – y(5y – 7)

= (5y – 7) (x – y)

(ii) 5p² – 8pq – 10p + 16q

Solution

(5p² – 8pq) – (10p + 16q)

Take out common in all terms,

p(5p – 8q) – 2(5p – 8q)

= (5p – 8q) (p – 2)

3. (i) a²b – ab² + 3a – 3b

Solution

(a²b – ab²) + (3a – 3b)

Take out common in all terms,

ab(a – b) + 3(a – b)

= (a – b) (ab + 3)

(ii) x³ – 3x² + x – 3

Solution

(x³ – 3x²) + (x – 3)

Take out common in all terms,

x² (x – 3) + 1(x – 3)

= (x – 3) (x² + 1)

4. (i) 6xy² – 3xy – 10y + 5

Solution

(6xy² – 3xy) – (10y + 5)

Take out common in all terms,

3xy(2y – 1) – 5(2y – 1)

= (2y – 1) (3xy – 5)

(ii) 3ax – 6ay – 8by + 4bx

Solution

(3ax – 6ay) – (8by + 4bx)

Take out common in all terms,

3a(x – 2y) + 4b(x – 2y)

= (x – 2y) (3a + 4b)

5. (i) 1 – a – b + ab

Solution

(1 – a) – (b + ab)

Take out common in all terms,

1(1 – a) – b(1 – a)

= (1 – a) (1 – b)

(ii) a(a – 2b – c) + 2bc

Solution

a(a – 2b – c) + 2bc

Above question can be written as,

(a² – 2ab) – (ac + 2bc)

Take out common in all terms,

a(a – 2b) – c(a + 2b)

= (a – 2b) (a – c)

6. (i) x² + xy (1 + y) + y³

Solution

x² + xy (1 + y) + y³

Above question can be written as,

(x² + xy) + (xy² + y³)

Take out common in all terms,

x(x + y) + y²(x + y)

= (x + y) (x + y²)

(ii) y² – xy (1 – x) – x³

Solution

y² – xy (1 – x) – x³

Above question can be written as,

(y² – xy) + (x²y – x³)

Take out common in all terms,

y(y – x) + x² (y – x)

= (y – x) (y + x²)

7. (i) ab² + (a – 1)b – 1

Solution

ab² + (a – 1)b – 1

Above question can be written as,

(ab² + ab) – (b – 1)

Take out common in all terms,

ab(b + 1) – 1(b + 1)

= (b + 1) (ab – 1)

(ii) 2a – 4b – xa + 2bx

Solution

(2a – 4b) – (xa + 2bx)

Take out common in all terms,

2(a – 2b) – x(a – 2b)

= (a – 2b) (2 – x)

8. (i) 5ph – 10qk + 2rph – 4qrk

Solution

5ph – 10qk + 2rph – 4qrk

Re-arranging the given question we get,

(5ph + 2rph) – (10qk – 4qrk)

Take out common in all terms,

ph(5 + 2r) – 2qk(5 + 2r)

= (5 + 2r) (ph – 2qk)

(ii) x² – x(a + 2b) + 2ab

Solution

x² – x(a + 2b) + 2ab

Above question can be written as,

(x² – xa) – (2xb + 2ab)

Take out common in all terms,

x(x – a) – 2b(x – a)

= (x – a) (x – 2b)

9. (i) ab(x² + y²) – xy(a² + b²)

Solution

ab(x² + y²) – xy(a² + b²)

Above question can be written as,

abx² + aby² – xya² – xyb²

Re-arranging the above we get,

(abx² – xyb²) + (aby² – xya²)

Take out common in all terms,

bx(ax – by) + ay(by – ax)

= bx(ax – by) – ay(ax – by)

= (ax – by) (bx – ay)

(ii) (ax + by)² + (bx – ay)²

Solution

By expanding the give question, we get,

(ax)² + (by)² + 2axby + (bx)² + (ay)² – 2bxay

= a²x² + b²y² + b²x² + a²y²

Re-arranging the above we get,

(a²x² + a²y²) + (b²y² + b²x²)

Take out common in all terms,

a² (x² + y²) + b² (x² + y²)

= (x² + y²) (a² + b²)

10. (i) a³ + ab(1 – 2a) – 2b²

Solution

a³ + ab(1 – 2a) – 2b²

Above question can be written as,

a³ + ab – 2a²b – 2b²

Re-arranging the above we get,

(a³ – 2a²b) + (ab – 2b²)

Take out common in all terms,

a²(a – 2b) + b(a – 2b)

= (a – 2b) (a² + b)

(ii) 3x²y – 3xy + 12x – 12

Solution

(3x²y – 3xy) + (12x – 12)

Take out common in all terms,

3xy(x – 1) + 12(x – 1)

= (x – 1) (3xy + 12)

11. a²b + ab² –abc – b²c + axy + bxy

Solution

a²b + ab² –abc – b²c + axy + bxy

Re-arranging the above we get,

(a²b – abc + axy) + (ab² – b²c + bxy)

Take out common in all terms,

a(ab – bc + xy) + b(ab – bc + xy)

= (a + b) (ab – bc + xy)

12. ax² – bx² + ay² – by² + az² – bz²

Solution

ax² – bx² + ay² – by² + az² – bz²

Re-arranging the above we get,

(ax² + ay² + az²) – (bx² – by² – bz²)

Take out common in all terms,

a(x² + y² + z²) – b(x² + y² + z²)

= (x² + y² + z²) (a – b)

13. x – 1 – (x – 1)² + ax – a

Solution

x – 1 – (x – 1)² + ax – a

By expanding the above we get,

x – 1 – (x² + 1 – 2x) + ax – a

= x – 1 – x² -1 + 2x + ax – a

= (2x – x² + ax) – (2 + x – a)

Take out common in all terms,

x(2 – x + a) – 1(2 – x + a)

= (2 – x + a) (x – 1)

Exercise 4.3

Factorise the following (1 to 17):

1. 4x² – 25y²

Solution

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

So, (2x)² – (5y)²

Then, (2x + y) (2x – 5y)

(ii) 9x² – 1

Solution

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

So, (3x)² – 1²

Then, (3x + 1) (3x – 1)

2. (i) 150 – 6a²

Solution

150 – 6a²

Take out common in all terms,

6(25 – a²)

= 6(5² – a²)

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

So, 6(5 + a) (5 – a)

(ii) 32x² – 18y²

Solution

32x² – 18y²

Take out common in all terms,

2(16x² – 9y²)

= 2((4x)² – (3y)²)

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

2(4x + 3y) (4x – 3y)

3. (ii) (x – y)² – 9

Solution

(x – y)² – 9

= (x – y)² – 3²

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

(x – y + 3) (x – y – 3)

(ii) 9(x + y)² – x²

Solution

9[(x + y)² – x²]

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

9[(x + y + x) (x + y – x)]

So, 9(2x + y) y

= 9y(2x + y)

4. (i) 20x² – 45y²

Solution

20x² – 45y²

Take out common in all terms,

5(4x² – 9y²)

= 5((2x)² – (3y)²)

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

5(2x + 3y) (2x – 3y)

(ii) 9x² – 4(y + 2x)²

Solution

9x² – 4(y + 2x)²

Above question can be written as,

(3x)² – [2(y + 2x)]²

= (3x)² – (2y + 4x)²

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

(3x + 2y + 4x) (3x – 2y – 4x)

= (7x + 2y) (-x – 2y)

5. (i) 2(x – 2y)² – 50y²

Solution

2(x – 2y)² – 50y²

Take out common in all terms,

2[(x – 2y)² – 25y²]

= 2[(x – 2y)² – (5y)²]

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

2[(x – 2y + 5y) (x – 2y – 5y)]

= 2[(x + 3y) (x – 7y)]

= 2(x + 3y) (x – 7y)

(ii) 32 – 2(x – 4)²

Solution

32 – 2(x – 4)²

Take out common in all terms,

2[16 – (x – 4)²]

= 2[4²– (x – 4)²]

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

2[(4 + x – 4) (4 – x + 4)]

= 2[(x) (8 – x)]

= 2x(8 – x)

6. (i) 108a² – 3(b – c)²

Solution

108a² – 3(b – c)²

Take out common in all terms,

3[36a² – (b – c)²]

= 3[(6a)² – (b – c)²]

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

3[(6a + b – c) (6a – b + c)]

(ii) πa⁵ – π³ab²

Solution

πa⁵ – π³ab²

Take out common in all terms,

πa(a⁴ – π²b²)

= πa((a²)² – (πb)²)

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

πa(a² + πb) (a² – πb)

7. (i) 50x² – 2(x – 2)²

Solution

50x² – 2(x – 2)²

Take out common in all terms,

2[25x² – (x – 2)²]

= 2[(5x)² – (x – 2)²]

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

2[(5x + x – 2) (5x – x + 2)]

= 2[(6x – 2) (4x + 2)]

= 2(6x – 2) (4x + 2)

(ii) (x – 2)(x + 2) + 3

Solution

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

(x² – 2²) + 3

= x² – 4 + 3

= x² – 1

Then,

(x + 1) (x – 1)

8. (i) x – 2y – x² + 4y²

Solution

x – 2y – x² + 4y²

= x – 2y – (x² + (2y)²)

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

x – 2y – [(x + 2y) (x – 2y)]

Take out common in all terms,

(x – 2y) (1 – (x + 2y))

= (x – 2y) (1 – x – 2y)

(ii) 4a² – b² + 2a + b

Solution

4a² – b² + 2a + b

= (2a)² – b² + 2a + b

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

((2a + b) (2a – b)) + 1(2a + b)

Take out common in all terms,

(2a + b) (2a – b + 1)

9. (i) a(a – 2) – b(b – 2)

Solution

a(a – 2) – b(b – 2)

Above question can be written as,

a² – 2a – b² – 2b

Rearranging the above terms, we get,

a² – b² – 2a – 2b

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

[(a + b)(a – b)] – 2(a – b)

Take out common in all terms,

(a – b) (a + b – 2)

(ii) a(a – 1) – b(b – 1)

Solution

a(a – 1) – b(b – 1)

Above question can be written as,

a² – a – b² + b

Rearranging the above terms, we get,

a² – b² – a + b

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

[(a + b)(a – b)] – 1 (a – b)

Take out common in all terms,

(a – b) (a + b – 1)

10. (i) 9 – x² + 2xy – y²

Solution

9 – x² + 2xy – y²

= 9 – x² + 2xy – y²

Above terms can be written as,

9 – x² + xy + xy – y²

Now,

9 – x² + xy + 3x – 3x + 3y – 3y + xy – y²

Rearranging the above terms, we get,

9 – 3x + 3y + 3x – x² + xy + xy – 3y – y²

Take out common in all terms,

3(3 – x + y) + x(3 – x + y) + y (-3 – y + x)

= 3(3 – x + y) + x(3 – x + y) – y(3 – x + y)

= (3 – x + y) (3 + x – y)

(ii) 9x⁴ – (x² + 2x + 1)

Solution

9x⁴ – (x² + 2x + 1)

Above terms can be written as,

(3x²)² – (x + 1)² … [because (a + b)² = a² + 2ab + b²]

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

So, (3x² + x + 1) (3x² – x – 1)

11. (i) 9x⁴ – x² – 12x – 36

Solution

9x⁴ – x² – 12x – 36

Above terms can be written as,

9x⁴ – (x² + 12x + 36)

We know that, (a + b)² = a² + 2ab + b²

(3x²)² – (x² + (2 × 6 × x) + 6²)

So, (3x²)² – (x + 6)²

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

(3x² + x + 6) (3x² – x – 6)

(ii) x³ – 5x² – x + 5

Solution

x³ – 5x² – x + 5

Take out common in all terms,

x²(x – 5) – 1(x – 5)

= (x – 5) (x² – 1)

= (x – 5) (x² – 1²)

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

(x – 5) (x + 1) (x – 1)

12. (i) a⁴ – b⁴ + 2b² – 1

Solution

a⁴ – b⁴ + 2b² – 1

Above terms can be written as,

a⁴ – (b⁴ – 2b² + 1)

We know that, (a – b)² = a² – 2ab + b²

a⁴ – ((b²)²) – (2×b²×1)+1²)

= (a²)² – (b² – 1)²

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

(a² + b² – 1) (a² – b² + 1)

(ii) x³ – 25x

Solution

x³ – 25x

Take out common in all terms,

x(x² – 25)

Above terms can be written as,

x(x² – 5²)

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

x(x + 5) (x – 5)

13. (i) 2x⁴ – 32

Solution

2x⁴ – 32

Take out common in all terms,

2(x⁴ – 16)

Above terms can be written as,

2((x²)² – 4²)

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

2(x² + 4) (x² – 4)

= 2(x² + 4) (x² – 2²)

= 2(x² + 4) (x + 2) (x – 2)

(ii) a²(b + c) – (b + c)³

Solution

a²(b + c) – (b + c)³

Take out common in all terms,

(b + c) (a² – (b + c)²)

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

(b + c) (a + b + c) (a – b – c)

14. (i) (a + b)³ – a – b

Solution

(a + b)³ – a – b

Above terms can be written as,

(a + b)³ – (a + b)

Take out common in all terms,

(a + b) [(a + b)² – 1]

= (a + b) [(a + b)² – 1²]

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

(a + b) (a + b + 1) (a + b – 1)

(ii) x² – 2xy + y² – a² – 2ab – b²

Solution

x² – 2xy + y² – a² – 2ab – b²

Above terms can be written as,

(x² – 2xy + y²) – (a² + 2ab + b²)

We know that, (a + b)² = a² + 2ab + b² and (a – b)² = a² – 2ab + b²

(x² – (2×x×y)+y²) – (a²+(2×a×b)+b²)

= (x – y)² – (a + b)²

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

[(x – y) + (a + b)] [(x – y) – (a + b)]

= (x – y + a + b) (x – y – a – b)

15. (i) (a² – b²) (c² – d²) – 4abcd

Solution

(a² – b²) (c² – d²) – 4abcd

= a²(c² – d²) – b² (c² – d²) – 4abcd

= a²c² – a²d² – b²c² + b²d² – 4abcd

= a²c² + b²d² – a²d² – b²c² – 2abcd – 2abcd

Rearranging the above terms, we get,

a²c² + b²d² – 2abcd – a²d² – b²c² – 2abcd

We know that, (a + b)² = a² + 2ab + b² and (a – b)² = a² – 2ab + b²

(ac – bd)² – (ad – bc)²

= (ac – bd + ad – bc) (ac – bd – ad + bc)

(ii) 4x² – y² – 3xy + 2x – 2y

Solution

4x² – y² – 3xy + 2x – 2y

Above terms can be written as,

x² + 3x² – y² – 3xy + 2x – 2y

Rearranging the above terms, we get,

(x² – y²) + (3x² – 3xy) + (2x – 2y)

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b) and take out common terms,

(x + y) (x – y) + 3x(x – y) + 2(x – y)

= (x – y) [(x + y) + 3x + 2]

= (x – y) (x + y + 3x + 2)

= (x – y) (4x + y + 2)

16. (i) x² + 1/x² – 11

Solution

x² + 1/x² – 11

Above terms can be written as,

x² + (1/x²) – 2 – 9

Then, (x² + (1/x²) – 2) – 3²

We know that, (a – b)² = a² – 2ab + b²,

(x² – (2×x²×(1/x²)) + (1/x)²)

= (x – 1/x)² – 3²

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

(x – 1/x + 3) (x – 1/x – 3)

(ii) x⁴ + 5x² + 9

Solution

x⁴ + 5x² + 9

= x⁴ + 6x² – x² + 9

= (x⁴ + 6x² + 9) – x²

= ((x²)² +(2×x²×3)+3²)

We know that, (a + b)² = a² + 2ab + b²,

((x²)² +(2×x²×3)+3²)

So, (x² + 3)² – x²

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

(x² + 3 + x) (x² + 3 – x)

17. (i) a⁴ + b⁴ – 7a²b²

Solution

a⁴ + b⁴ – 7a²b²

Above terms can be written as,

a⁴ + b⁴ + 2a²b² – 9a²b²

We know that, (a + b)² = a² + 2ab + b²,

[(a²)² + (b²)² + (2×a²×b²)] – (3ab)²

= (a² + b²)² – (3ab)²

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

(a² + b² + 3ab) (a² + b² – 3ab)

(ii) x⁴ – 14x² + 1

Solution

x⁴ – 14x² + 1

Above terms can be written as,

x⁴ + 2x² + 1 – 16x²

We know that, (a + b)² = a² + 2ab + b²,

So, [(x²)² + (2×x²×1) + 1²] – 16x²

(x² + 1)² – (4x)²

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

(x² + 1 + 4x) (x² + 1 – 4x)

18. Express each of the following as the difference of two squares:

(i) (x² – 5x + 7) (x² + 5x + 7)

Solution

(x² – 5x + 7) (x² + 5x + 7)

Rearranging the above terms, we get,

((x² + 7) – 5x) ((x² + 7) + 5x)

As, we know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

So, (x² + 7)² – (5x)²

(x² + 7)² -25x²

(ii) (x² – 5x + 7) (x² – 5x – 7)

Solution

(x² – 5x + 7) (x² – 5x – 7)

= [(x² – 5x) + 7) ((x² – 5x) – 7)

As, we know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

(x² – 5x)² – 7²

= (x² – 5x)² – 49

(iii) (x² + 5x – 7) (x² – 5x + 7)

Solution

(x² + 5x – 7) (x² – 5x + 7)

[x² + (5x – 7)] [x² – (5x – 7)]

As, we know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

x² – (5x – 7)²

We know that, (a – b)² = a² – 2ab + b²,

x² – [(5x)² – (2×5x×7)+7²]

= x² – (25x² – 70x + 49)

= x² – 25x² + 70x – 49

= -24x² + 70x – 49

19. Evaluate the following by using factors:

(i) (979)² – (21)²

(ii) (99.9)² – (0.1)²

Solution

(i) (979)² – (21)²

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

= (979 + 21) (979 – 21)

So we get

= 1000×958

= 958000

(ii) (99.9)² – (0.1)²

We know that, a² – b² = (a + b) (a – b)

= (99.9 + 0.1) (99.9 – 0.1)

So we get

= 100×99.8

= 9980

Exercise 4.4

Factorise the following (1 to 18):

1. (i) x² + 5x + 6

Solution

x² + 5x + 6

= x² + 3x + 2x + 6

Take out common in all terms we get,

x(x + 3) + 2 (x + 3)

= (x + 3) (x + 2)

(ii) x² – 8x + 7

Solution

x² – 8x + 7

= x² – 7x – x + 7

Take out common in all terms we get,

x(x – 7) – 1(x – 7)

= (x – 7) (x – 1)

2. (i) x² + 6x – 7

Solution

x² + 6x – 7

= x² + 7x – x – 7

Take out common in all terms we get,

x(x + 7) – 1(x + 7)

= (x + 7) (x – 1)

(ii) y² + 7y – 18

Solution

y² + 7y – 18

= y² + 9y – 2y – 18

Take out common in all terms we get,

y(y + 9) – 2(y + 9)

= (y + 9) (y – 2)

3. (i) y² – 7y – 18

Solution

y² – 7y – 18

= y² + 2y – 9y – 18

Take out common in all terms we get,

y(y + 2) – 9(y + 2)

= (y + 2) (y – 9)

(ii) a² – 3a – 54

Solution

a² – 3a – 54

= a² + 6a – 9a – 54

Take out common in all terms we get,

a(a + 6) – 9(a + 6)

= (a + 6) (a – 9)

4. (i) 2x² – 7x + 6

Solution:-

2x² – 7x + 6

= 2x² – 4x – 3x + 6

Take out common in all terms we get,

2x(x – 2) – 3(x – 2)

= (x – 2) (2x – 3)

(ii) 6x² + 13x – 5

Solution

6x² + 13x – 5

= 6x² + 15x – 2x – 5

Take out common in all terms we get,

3x(2x + 5) – 1(2x + 5)

= (2x + 5) (3x – 1)

5.

(i) 6x² + 11x – 10

Solution

6x² + 11x – 10

= 6x² + 15x – 4x – 10

Take out common in all terms we get,

3x(2x + 5) – 2(2x + 5)

= (2x + 5) (3x – 2)

(ii) 6x² – 7x – 3

Solution

6x² – 7x – 3

= 6x² – 9x + 2x – 3

Take out common in all terms we get,

3x(2x – 3) + 1(2x – 3)

= (2x – 3) (3x + 1)

6. (i) 2x² – x – 6

Solution

2x² – x – 6

= 2x² – 4x + 3x – 6

Take out common in all terms we get,

2x(x – 2) + 3(x – 2)

= (x – 2) (2x + 3)

(ii) 1 – 18y – 63y²

Solution

1 – 18y – 63y²

= 1 – 21y + 3y – 63y²

Take out common in all terms we get,

1(1 – 21y) + 3y(1 – 21y)

= (1 – 21y) (1 + 3y)

7. (i) 2y² + y – 45

Solution

2y² + y – 45

= 2y² + 10y – 9y – 45

Take out common in all terms we get,

2y (y + 5) – 9(y + 5)

= (y + 5) (2y – 9)

(ii) 5 – 4x – 12x²

Solution

5 – 4x – 12x²

= 5 – 10x + 6x – 12x²

Take out common in all terms we get,

5(1 – 2x) + 6x(1 – 2x)

= (1 – 2x) (5 + 6x)

8. (i) x(12x + 7) – 10

Solution

x(12x + 7) – 10

Above terms can be written as,

12x² + 7x – 10

= 12x² + 15x – 8x – 10

Take out common in all terms we get,

3x(4x + 5) – 2(4x + 5)

= (4x + 5) (3x – 2)

(ii) (4 – x)² – 2x

Solution

(4 – x)² – 2x

We know that, (a – b)² = a² – 2ab + b²

So, (4² –(2×4×x)+ x²) – 2x

= 16 – 8x + x² – 2x

= x² – 10x + 16

= x² – 8x – 2x + 16

Take out common in all terms we get,

x(x – 8) – 2(x – 8)

= (x – 8) (x -2)

9. (i) 60x² – 70x – 30

Solution

60x² – 70x – 30

Take out common in all terms we get,

10(6x² – 7x – 3)

= 10(6x² – 9x + 2x – 3)

Again, take out common in all terms we get,

10(3x(2x – 3) + 1(2x – 3))

= 10(2x – 3) (3x + 1)

(ii) x² – 6xy – 7y²

Solution

x² – 6xy – 7y²

= x² – 7xy + xy – 7y²

Take out common in all terms we get,

x(x – 7y) + y(x – 7y)

= (x – 7y) (x + y)

10. (i) 2x² + 13xy – 24y²

Solution

2x² + 13xy – 24y²

= 2x² + 16xy – 3xy – 24y²

Take out common in all terms we get,

2x(x + 8y) – 3y(x + 8y)

= (x + 8y) (2x – 3y)

(ii) 6x² – 5xy – 6y²

Solution

6x² – 5xy – 6y²

= 6x² – 9xy + 4xy – 6y²

Take out common in all terms we get,

3x(2x – 3y) + 2y (2x – 3y)

= (2x – 3y) (3x + 2y)

11. (i) 5x² + 17xy – 12y²

Solution

5x² + 17xy – 12y²

= 5x² + 20xy – 3xy – 12y²

Take out common in all terms we get,

5x(x + 4y) – 3y(x + 4y)

= (x + 4y) (5x – 3y)

(ii) x²y² – 8xy – 48

Solution

x²y² – 8xy – 48

= x²y² – 12xy + 4xy – 48

Take out common in all terms we get,

xy(xy – 12) + 4(xy – 12)

= (xy – 12) (xy + 4)

12. (i) 2a²b² – 7ab – 30

Solution

2a²b² – 7ab – 30

= 2a²b² – 12ab + 5ab – 30

Take out common in all terms we get,

2ab(ab – 6) + 5 (ab – 6)

= (ab – 6) (2ab + 5)

(ii) a(2a – b) – b²

Solution

a(2a – b) – b²

Above terms can be written as,

2a² – ab – b²

= 2a² – 2ab + ab – b²

Take out common in all terms we get,

2a(a – b) + b(a – b)

= (a – b) (2a + b)

13. (i) (x – y)² – 6(x – y) + 5

Solution

(x – y)² – 6(x – y) + 5

Above terms can be written as,

(x – y)² – 5(x – y) – (x – y) + 5

= {(x – y) (x – y – 5)} – {1(x – y – 5)}

Then,

(x – y – 5) (x – y – 1)

(ii) (2x – y)² – 11(2x – y) + 28

Solution

(2x – y)² – 11(2x – y) + 28

Above terms can be written as,

= (2x – y)² – 7(2x – y) – 4(2x – y) + 28

= (2x – y) (2x – y – 7) – 4(2x – y – 7)

= (2x – y – 7) (2x – y – 4)

14. (i) 4(a – 1)² – 4(a – 1) – 3

Solution

4(a – 1)² – 4(a – 1) – 3

Above terms can be written as,

4(a – 1)² – 6(a – 1) + 2(a – 1) – 3

Take out common in all terms we get,

2(a – 1) [2(a – 1) – 3] + 1[2(a – 1) – 3]

= (2(a – 1) – 3) (2(a – 1) + 1)

= (2a – 2 – 3) (2a – 2 + 1)

= (2a – 5) (2a – 1)

(ii) 1 – 2a – 2b – 3(a + b)²

Solution

1 – 2a – 2b – 3(a + b)²

Above terms can be written as,

1 – 2(a + b) – 3(a + b)²

= 1 – 3(a + b) + (a + b) – 3(a + b)²

Take out common in all terms we get,

1(1 – 3(a + b)) + (a + b) (1 – (a + b))

= (1 – 3(a + b)) (1 + (a + b))

= (1 – 3a + 3b) (1 + a + b)

15. (i) 3 – 5a – 5b – 12(a + b)²

Solution

3 – 5a – 5b – 12(a + b)²

Above terms can be written as,

3 – 5(a + b) – 12(a + b)²

= 3 – 9(a + b) + 4(a + b) – 12(a + b)²

Take out common in all terms we get,

3(1 – 3(a + b)) + 4(a + b) (1 – 3(a + b))

= (1 – 3(a + b)) (3 + 4(a + b))

= (1 – 3a – 3b) (3 + 4a + 4b)

(ii) a⁴ – 11a² + 10

Solution

a⁴ – 11a² + 10

Above terms can be written as,

a⁴ – 10a² – a² + 10

Take out common in all terms we get,

a² (a² – 10) – 1(a² – 10)

= (a² – 10) (a² – 1)

16. (i) (x + 4)² – 5xy -20y – 6y²

Solution

(x + 4)² – 5xy -20y – 6y²

Above terms can be written as,

(x + 4)² – 5y(x + 4) – 6y²

= (x + 4)² – 6y(x + 4) + y(x + 4) – 6y²

Take out common in all terms we get,

(x + 4) (x + 4 – 6y) + y(x + 4 – 6y)

= (x – 6y + 4) (x + 4 + y)

(ii) (x² – 2x²) – 23(x² – 2x) + 120

Solution

(x² – 2x²) – 23(x² – 2x) + 120

Above terms can be written as,

(x² – 2x)² – 15(x² – 2x) – 8(x² – 2x) + 120

Take out common in all terms we get,

(x² – 2x) (x² – 2x – 15) – 8(x² – 2x – 15)

= (x² – 2x – 15) (x² – 2x – 8)

17. 4(2a – 3)² – 3(2a – 3) (a – 1) – 7 (a – 1)²

Solution

4(2a – 3)² – 3(2a – 3) (a – 1) – 7 (a – 1)²

Let us assume, 2a – 3 = p and a – 1 = q

So, 4p² – 3pq – 7q²

Then, 4p² – 7pq + 4pq – 7q²

Take out common in all terms we get,

p(4p – 7q) + q(4p – 7q)

= (4p – 7q) (p + q)

Now, substitute the value of p and q we get,

(4(2a – 3) – 7(a – 1)) (2a – 3 + a – 1)

= (8a – 12 – 7a + 7) (3a – 4)

= (a – 5) (3a – 4)

18. (2x² + 5x) (2x² + 5x – 19) + 84

Solution

(2x² + 5x) (2x² + 5x – 19) + 84

Let us assume, 2x² + 5x = p

So, (p)(p – 19) + 84

= p² – 19p + 84

= p² – 12p – 7p + 84

= p(p – 12) – 7(p – 12)

= (p – 12) (p – 7)

Now, substitute the value of p we get,

(2x² + 5x – 12) (2x² + 5x – 7)

Exercise 4.5

Factorise the following (1 to 13):

1. (i) 8x³ + y³

Solution

8x³ + y³

Above terms can be written as,

(2x)³ + y³

We know that, a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

Where, a = 2x, b = y

Then, (2x)³ + y³ = (2x + y) [(2x)² – (2x×y) + y²]

= (2x + y) (4x² – 2xy + y²)

(ii) 64x³ – 125y³

Solution

64x³ – 125y³

Above terms can be written as,

(4x)³ – (5y)³

We know that, a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

Where, a = 4x, b = 5y

Then, (4x)³ – (5y)³ = (4x – 5y) [(4x)² + (4x×5y) + 5y²]

= (4x – 5y) (16x² + 20xy + 25y²)

2. (i) 64x³ + 1

Solution

64x³ + 1

Above terms can be written as,

(4x)³ + 1³

We know that, a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

Where, a = 4x, b = 1

Then, (4x)³ + 1³ = (4x+1) [(4x)² – (4x×1) + 1²]

= (4x + 1) (16x² – 4x + 1)

(ii) 7a³ + 56b³

Solution

7a³ + 56b³

Take out common in all terms we get,

7(a³ + 8b³)

Above terms can be written as,

7(a³ + (2b)³)

We know that, a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

Where, a = a, b = 2b

Then, 7[(a)³ + (2b)³] = 7[(a + 2b) {(a)² –(a×2b)+(2b)²}]

= 7(a + 2b) (a² – 2ab + 4b²)

3. (i) (x⁶/343) + (343/x⁶)

Solution

(x⁶/343) + (343/x⁶)

Above terms can be written as,

(x²/7)³ + (7/x²)³

We know that, a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

Where, a = (x²/7), b = (7/x²)

Then, (x²/7)³ + (7/x²)³ = [(x²/7) + (7/x²)] [(x²/7)² – ((x²/7) × (7/x²)) + (7/x²)²]

= [(x²/7) + (7/x²)] [(x⁴/49) – 1 + (49/x⁴)]

(ii) 8x³ – 1/27y³

Solution

8x³ – 1/27y³

Above terms can be written as,

(2x)³ – (1/3y)³

We know that, a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

Where, a = 2x, b = (1/3y)

Then, (2x)³ – (1/3y)³ = [2x – (1/3y)] [(2x)² +{2x×(1/3y)}+(3y)²]

= (2x – (1/3y)) (4x² + (2x/3y) + 9y²)

4. (i) x² + x⁵

Solution

x² + x⁵

Take out common in all terms we get,

x²(1 + x³)

= x²(1³ + x³)

We know that, a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

Where, a = 1, b = x

= x² [(1+x){1² –(1×x)+x²}]

= x²(1 + x) (1 – x + x²)

(ii) 32x⁴ – 500x

Solution

32x⁴ – 500x

Take out common in all terms we get,

4x(8x³ – 125)

Above terms can be written as,

4x[(2x)³ – 5³]

We know that, a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

Where, a = 2x, b = 5

= 4x(2x – 5) [(2x)² + (2x×5) + 5²]

= 4x(2x – 5) (4x² + 10x + 25)

5. (i) 27x³y³ – 8

Solution

27x³y³ – 8

Above terms can be written as,

(3xy)³ – 2³

We know that, a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

Where, a = 3xy, b = 2

= (3xy – 2) [(3xy)² +(3xy×2)+ 2²]

= (3xy – 2) (9x²y² + 6xy + 4)

(ii) 27(x + y)³ + 8(2x – y)³

Solution

27(x + y)³ + 8(2x – y)³

Above terms can be written as,

3³(x + y)³ + 2³(2x – y)³

= [3(x+y)]³ + [2(x–y)]³

We know that, a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

Where, a = 3(x+y), b = 2(x–y)

= [3(x+y) + 2(2x–y)] [{3(x+y)}³ – {3(x+y)×2(2x–y)}+{2(2x–y)}²]

= [3x + 3y + 4x – 2y] [9(x + y)² – 6(x + y)(2x – y) + 4(2x – y)²]

= (7x – y) [9(x² + y² + 2xy) – 6(2x² – xy + 2xy – y²) + 4(4x² + y² – 4xy)]

= (7x – y) [9x² + 9y² + 18xy – 12x² – 6xy – 6y² + 16x² + 4y² – 16xy]

= (7x – y) [13x² – 4xy + 19y²]

6. (i) a³ + b³ + a + b

Solution

a³ + b³ + a + b

= (a³ + b³) + (a + b)

We know that, a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

[(a + b) (a² – ab + b²)] + (a + b)

= (a + b) (a² – ab + b² + 1)

(ii) a³ – b³ – a + b

Solution

a³ – b³ – a + b

= (a³ – b³) – (a – b)

We know that, a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

[(a – b) (a² + ab + b²)] – (a – b)

= (a – b) (a² + ab + b² – 1)

7. (i) x³ + x + 2

Solution

x³ + x + 2

Above terms can be written as,

x³ + x + 1 + 1

Rearranging the above terms, we get

(x³ + 1) (x + 1)

= (x³ + 1³) (x + 1)

We know that, a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

[(x + 1) (x² – x + 1)] + (x + 1)

= (x + 1) (x² – x + 1 + 1)

= (x + 1) (x² – x + 2)

(ii) a³ – a – 120

Solution

a³ – a – 120

Above terms can be written as,

a³ – a – 125 + 5

Rearranging the above terms, we get

a³ – 125 – a + 5

= (a³ – 125) – (a – 5)

= (a³ – 5³) – (a – 5)

We know that, a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

[(a – 5) (a² + 5a + 5²)] – (a – 5)

= (a – 5) (a² + 5a + 25) – (a – 5)

= (a – 5) (a² + 5a + 25 – 1)

= (a – 5) (a² + 5a + 24)

8. (i) x³ + 6x² + 12x + 16

Solution

x³ + 6x² + 12x + 16

= x³ + 6x² + 12x + 8 + 8

Above terms can be written as,

[x³ + (3×2×x²) + (3×2²×x) + 2³] + 8

We know that, (a + b)³ = a³ + b³ + 3a²b + 3ab²

Now a = x and b = 2

So, (x + 2)³ + 2³

We know that, a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

(x + 2 + 2) [(x+2)² – (2×(x+2) + 2²]

= (x + 4) (x² + 4 + 4x – 2x – 4 + 4)

= (x + 4) (x² + 2x + 4)

(ii) a³ – 3a²b + 3ab² – 2b³

Solution

a³ – 3a²b + 3ab² – 2b³

Above terms can be written as,

a³ – 3a²b + 3ab² – b³ – b³

We know that, (a – b)³ = a³ – b³ – 3a²b + 3ab²

So, (a – b)³ + b³

We also know that, a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

Where, a = a – b, b = b

(a – b – b) ((a – b)² + (a – b)b + b²)

= (a – 2b) (a² + b² – 2ab + ab – b² + b²)

= (a – 2b) (a² + b² – ab)

9. (i) 2a³ + 16b³ – 5a – 10b

Solution

2a³ + 16b³ – 5a – 10b

Above terms can be written as,

2(a³ + 8b³) – 5(a + 2b)

= 2(a³ + (2b)³) – 5(a + 2b)

We know that, a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

2[(a + 2b) (a² – 2ab + 4b²)] – 5(a + 2b)

= (a + 2b) (2a² – 4ab + 8b² – 5)

(ii) a³ – (1/a³) – 2a + 2/a

Solution

a³ – (1/a³) – 2a + 2/a

= [a³ – (1/a)³] – 2a + 2/a

We know that, a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

[(a – 1/a) {a² + (a× 1/a) + (1/a)²}] – 2(a – 1/a)

= [(a – 1/a) (a² + 1 + 1/a²)] – 2(a – 1/a)

= (a – 1/a) (a² + 1 + 1/a² – 2)

= (a – 1/a) (a² + 1/a² – 1)

10. (i) a⁶ – b⁶

Solution

a⁶ – b⁶

Above terms can be written as,

(a²)³ – (b²)³

We know that, a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

So, a = a², b = b²

(a² – b²) [(a²)²) + a²b² + (b²)²]

= (a² – b²) (a⁴ + a²b² + b⁴)

(ii) x⁶ – 1

Solution

x⁶ – 1

Above terms can be written as,

(x²)³ – 1³

We know that, a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

So, a = x², b = 1

(x² – 1) [(x²)² + (x²×1) + 1²]

= (x² – 1) (x⁴ + x² + 1)

11. (i) 64x⁶ – 729y⁶

Solution

64x⁶ – 729y⁶

Above terms can be written as,

(2x)⁶ – (3y)⁶

= [(2x)²]³ – [(3y)²]³

We know that, a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

So, a = (2x)², b = (3y)²

= [(2x)² – (3y)²] [((2x)²)² + {(2x)²×(3y)²} + ((3y)²)²]

= (4x² – 9y²) [16x⁴ + (4x²×9y²) + (9y²)²]

= (4x² – 9y²) [16x⁴ + 36x²y² + 81y⁴] [(2x)² – (3y)²] [16x⁴ + 36x²y² + 81y⁴]

= (2x + 3y) (2x – 3y) (16x⁴ + 36x²y² + 81y⁴)

(ii) x³ – (8/x)

Solution

x³ – (8/x)

Above terms can be written as,

(1/x) (x³ – 8)

= (1/x) [(x)³ – (2)³]

We know that, a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

So, a = x, b = 2

= (1/x) (x – 2) (x² + 2x + 4)

12. (i) 250 (a – b)³ + 2

Solution

250 (a – b)³ + 2

Take out common in all terms we get,

2(125(a – b)³ + 1)

= 2[(5(a – b))³ + 1³]

We know that, a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

= 2[(5a – 5b + 1){(5a – 5b)² – (5a – 5b)1 + 1²}]

= 2(5a – 5b + 1) (25a² + 25b² – 50ab – 5a + 5b + 1)

(ii) 32a²x³ – 8b²x³ – 4a²y³ + b²y³

Solution

32a²x³ – 8b²x³ – 4a²y³ + b²y³

Take out common in all terms we get,

8x³(4a² – b²) – y³(4a² – b²)

= (4a² – b²) (8x³ – y³)

Above terms can be written as,

[(2a)² – b²] [(2x)³ – y³]

We know that, a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²) and (a² – b²) = (a + b) (a – b)

(2a + b) (2a – b) [(2x – y) {(2x)² + 2xy + y²}]

= (2a + b) (2a – b) (2x – y) (4x² + 2xy + y²)

13. (i) x⁹ + y⁹

Solution

x⁹ + y⁹

Above terms can be written as,

(x³)³ + (y³)³

We know that, a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

Where, a = x³, b = y³

(x³ + y³) [(x³)² – x³y³ + (y³)²]

= (x³ + y³) (x⁶ – x³y³ + y⁶)

Then, (x³ + y³) in the form of (a³ + b³)

(x + y)(x² – xy + y²) (x⁶ – x³y³ + y⁶)

(ii) x⁶ – 7x³ – 8

Solution

X⁶ – 7x³ – 8

Above terms can be written as,

(x²)³ – 7x³ – x³ + x³ – 8

= (x²)³ – 8x³ + x³ – 2³

= [((x²)³) – (2x)³] + (x³ – 2³)

We know that, a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

(x² – 2x) [(x²)² + (x²×2x) + (2x)²] + (x – 2) (x² + 2x + 2²)

= (x² – 2x) (x⁴ + 2x³ + 4x²) + (x – 2) (x² + 2x + 4)

= x(x – 2) x²(x² + 2x + 4) + (x – 2) (x² + 2x + 4)

Take out common in all terms we get,

(x – 2) (x² + 2x + 4) [(x×x²) + 1]

= (x – 2) (x² + 2x + 4) (x³ + 1)

So, above terms are in the form of a³ + b³

Therefore, (x – 2) (x² + 2x + 4) (x + 1) (x² – x + 1)

Chapter test

Factorise the following (1 to 12):

1. (i) 15(2x – 3)³ – 10(2x – 3)

Solution

15(2x – 3)³ – 10(2x – 3)

Take out common in both terms,

Then, 5(2x – 3) [3(2x – 3)² – 2]

(ii) a(b – c) (b + c) – d(c – b)

Solution

a(b – c) (b + c) – d(c – b)

Above terms can be written as,

a(b – c) (b + c) + d(b – c)

Take out common in both terms,

(b – c) [a(b + c) + d]

= (b – c) (ab + ac + d)

2. (i) 2a²x – bx + 2a² – b

Solution

2a²x – bx + 2a² – b

Rearrange the above terms we get,

2a²x + 2a – bx – b

Take out common in both terms,

2a²(x + 1) – b(x + 1)

= (x + 1) (2a² – b)

(ii) p² – (a + 2b)p + 2ab

Solution

p² – (a + 2b)p + 2ab

Above terms can be written as,

p² – ap – 2bp + 2ab

Take out common in both terms,

p(p – a) – 2b(p – a)

= (p – a) (p – 2b)

3. (i) (x² – y²)z + (y² – z²)x

Solution

(x² – y²)z + (y² – z²)x

Above terms can be written as,

zx² – zy² + xy² – xz²

Rearrange the above terms we get,

zx² – xz² + xy² – zy²

Take out common in both terms,

zx(x – z) + y²(x – z)

= (x – z) (zx + y²)

(ii) 5a⁴ – 5a³ + 30a² – 30a

Solution

5a⁴ – 5a³ + 30a² – 30a

Take out common in both terms,

5a(a³ – a² + 6a – 6)

= 5a[a²(a – 1) + 6(a – 1)]

= 5a(a – 1) (a² + 6)

4. (i) b(c -d)² + a(d – c) + 3c – 3d

Solution

b(c -d)² + a(d – c) + 3c – 3d

Above terms can be written as,

= b(c – d)² – a(c – d) + 3c – 3d

= b(c – d)² – a(c – d) + 3(c – d)

Take out common in both terms,

(c – d) [b(c – d) – a + 3]

= (c – d) (bc – bd – a + 3)

(ii) x³ – x² – xy + x + y – 1

Solution

x³ – x² – xy + x + y – 1

Rearrange the above terms we get,

x³ – x² – xy + y + x – 1

Take out common in both terms,

x²(x – 1) – y(x – 1) + 1(x – 1)

= (x – 1) (x² – y + 1)

5. (i) x(x + z) – y (y + z)

Solution

x(x + z) – y (y + z)

= x² + xz – y² – yz

Rearrange the above terms we get,

x² – y² + xz – yz

We know that, (a² – b²) = (a + b) (a – b)

So, (x + y) (x – y) + z(x – y)

= (x – y) (x + y + z)

(ii) a¹²x⁴ – a⁴x¹²

Solution

a¹²x⁴ – a⁴x¹²

Take out common in both terms,

a⁴x⁴ (a⁸ – x⁸)

= a⁴x⁴((a⁴)² – (x⁴)²)

We know that, (a² – b²) = (a + b) (a – b)

a⁴x⁴ (a⁴ + x⁴) (a⁴ – x⁴)

= a⁴x⁴ (a⁴ + x⁴) ((a²)² – (x²)²)

= a⁴x⁴(a⁴ + x⁴) (a² + x²) (a² – x²)

= a⁴x⁴ (a⁴ + x⁴) (a² + x²) (a + x) (a – x)

6. (i) 9x² + 12x + 4 – 16y²

Solution

9x² + 12x + 4 – 16y²

Above terms can be written as,

(3x)² + (2×3x×2) + 2² – 16y²

Then, (3x + 2)² + (4y)²

= (3x + 2 + 4y) (3x + 2 – 4y)

(ii) x⁴ + 3x² + 4

Solution

x⁴ + 3x² + 4

Above terms can be written as,

(x²)² + 3(x²) + 4

= (x²)² + (2)² + 4x² – x²

= (x² + 2)² – (x²)

We know that, (a² – b²) = (a + b) (a – b)

(x² + 2 + x) (x² + 2 – x)

= (x² + x + 2) (x² – x + 2)

7. (i) 21x² – 59xy + 40y²

Solution

21x² – 59xy + 40y²

By multiplying the first and last term we get, 21×40 = 840

Then, (-35)×(-24) = 840

So, 21x² – 35xy – 24xy + 40y²

= 7x(3x – 5y) – 8y(3x – 5y)

= (3x – 5y) (7x – 8y)

(ii) 4x³y – 44x²y + 112xy

Solution

4x³y – 44x²y + 112xy

Take out common in all terms,

4xy(x² – 11x + 28)

Then, 4xy (x² – 7x – 4x + 28)

= 4xy [x(x – 7) – 4(x + 7)]

= 4xy (x – 7) (x – 4)

8. (i) x²y² – xy – 72

Solution

x²y² – xy – 72

= x²y² – 9xy + 8xy – 72

Take out common in all terms,

xy(xy – 9) + 8(xy – 9)

= (xy – 9) (xy + 8)

(ii) 9x³y + 41x²y² + 20xy³

Solution

9x³y + 41x²y² + 20xy³

Take out common in all terms,

xy(9x² + 41xy + y²)

Above terms can be written as,

xy (9x² + 36xy + 5xy + 20y²)

= xy [9x(x + 4y) + 5y(x + 4y)]

= xy (x + 4y) (9x + 5y)

9. (i) (3a – 2b)² + 3(3a – 2b) – 10

Solution

(3a – 2b)² + 3(3a – 2b) – 10

Let us assume, (3a – 2b) = p

p² + 3p – 10

= p² + 5p – 2p – 10

Take out common in all terms,

p(p + 5) – 2(p + 5)

= (p + 5) (p – 2)

Now, substitute the value of p

(3a – 2b + 5) (3a – 2b – 2)

(ii) (x² – 3x) (x² – 3x + 7) + 10

Solution

(x² – 3x) (x² – 3x + 7) + 10

Let us assume, (x² – 3x) = q

q (q + 7) + 10

= q² + 7q + 10

= q² + 5q + 2q + 10

= q(q + 5) + 2(q + 5)

= (q + 5) (q + 2)

Now, substitute the value of q

(x² – 3x + 5) (x² – 3x + 2)

10. (i) (x² – x) (4x² – 4x – 5) – 6

Solution

(x² – x) (4x² – 4x – 5) – 6

= (x² – x) [(4x² – 4x) – 5] – 6

= (x² – x) [4(x² – x) – 5] – 6

Let us assume x² – x = q

So, q[4q – 5] – 6

= 4q² – 5q – 6

= 4q² – 8q + 3q – 6

= 4q(q – 2) + 3(q – 2)

= (q – 2) (4q + 3)

Now, substitute the value of q

(x² – x – 2) (4(x² – x) + 3)

= (x² – x – 2) (4x² – 4x + 3)

= (x² – 2x + x – 2) (4x² – 4x + 3)

= [x(x – 2) + 1(x – 2)] (4x² – 4x + 3)

= (x – 2) (x + 1) (4x² – 4x + 3)

(ii) x⁴ + 9x²y² + 81y⁴

Solution

x⁴ + 9x²y² + 81y⁴

Above terms can be written as,

x⁴ + 18x²y² + 81y⁴ – 9x²y²

= [(x²)² + (2×x²×9y²) + (9y²)²] – 9x²y²

We know that, (a + b)² = a² + 2ab + b²

(x² + 9y²)² – (3xy)² ...[using a²- b² = (a+b) (a-b)]

= (x² + 9y² + 3xy) (x² + 9y² – 3xy)

11. (i) (8/27)x³ – (1/8)y³

Solution

(8/27)x³ – (1/8)y³

Above terms can be written as,

{(2/3)x}³ – (½y)³

We know that, a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

{(2/3)x – ½y} [(2/3)x + (2/3)x (1/2)y + {(1/2)y}²]

= [(2/3)x – (1/2)y] [(4/9)x² + (xy/3) + (y²/4)]

(ii) x⁶ + 63x³ – 64

Solution

x⁶ + 63x³ – 64

Above terms can be written as,

x⁶ + 64x³ – x³ – 64

Take out common in all terms,

x³ (x³ + 64) – 1(x³ + 64)

= (x³ + 64) (x³ – 1)

= (x³ + 4³) (x³ – 1³)

We know that, a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²) and a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

So, (x + 4) [x² – 4x + 4²] (x – 1) [x² + x + 1²]

= (x + 4) (x² – 4x + 16) (x – 1) (x² + x + 1)

12. (i) x³ + x² – (1/x²) + (1/x³)

Solution

x³ + x² – (1/x²) + (1/x³)

Rearranging the above terms, we get,

x³ + (1/x³) + x² – (1/x²)

We know that, a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²) and (a² – b²) = (a + b) (a – b)

(x + 1/x) (x² – 1 + 1/x²) + (x + 1/x) (x – 1/x)

= (x + 1/x) [x² – 1 + 1/x² + x – 1/x]

(ii) (x + 1)⁶ – (x – 1)⁶

Solution

(x + 1)⁶ – (x – 1)⁶

Above terms can be written as,

[(x + 1)³]² – [(x – 1)³]²

We know that, (a² – b²) = (a + b) (a – b)

[(x+1)³ + (x–1)³] [(x+1)³ – (x–1)³]

Using, a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²) and a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

= [(x+1)+(x–1)][(x+1)² – (x–1)(x+1) + (x–1)²] [(x+1) – (x–1)][(x+1)² + (x–1)(x+1) + (x–1)²]

= (x+1+x–1)[x²+2x+1–x²+1+x²+1– 2x(x+1) – x+1] [x²+2x+1+x²–1+x²–2x+1]

By simplifying we get,

2x(x² + 3) 2(3x² + 1)

= 4x(x² + 3) (3x² + 1)

13. Show that (97)³ + (14)³ is divisible by 111

Solution

From the question,

(97)³ + (14)³

We know that, a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

So, (97 + 14) [(97)² – (97×14) + (14)²]

= 111 [(97)² – (97×14) + (14)²]

Therefore, it is clear that the given expression is divisible by 111.

14. If a + b = 8 and ab = 15, find the value of a⁴ + a²b² + b⁴.

Solution

a⁴ + a²b² + b⁴

Above terms can be written as,

a⁴ + 2a²b² + b⁴ – a²b²

= (a²)² + 2a²b² + (b²)² – (ab)²

= (a² + b²)² – (ab)²

= (a² + b² + ab) (a² + b – ab)

a + b = 8, ab = 15

So, (a + b)² = 8²

= a² + 2ab + b² = 64

= a² + 2(15) + b² = 64

= a² + b² + 30 = 64

By transposing,

a² + b² = 64 – 30

= a² + b² = 34

Then, a⁴ + a²b² + b⁴

= (a² + b² + ab) (a² + b² – ab)

= (34 + 15) (34 – 15)

= 49 ×19

= 931